Verteilung Münzen < Kombinatorik < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 18.04.2022 | | Autor: | Spica |
| Aufgabe | 10 1€ Münzen und 10 2€ MÜnzen werden in beliebiger Reihenfolge nebeneinander auf den Tisch gelegt.
Behauptung: Nun gibt es in dieser Reihe immer 10 direkt aufeinanderfolgende Münzen, unter denen sich genau 5 1€ und 5 2€ Münzen befinden. |
Nun ergeben sich durch Kombination mit Wiederholung nach [mm] n!/k_{1}!/ k_{2}! [/mm] 184756 Anordnungsmöglichkeiten.
Aber wie kann man zeigen, dass die obige Behauptung auch gilt?
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Hiho,
hier bedarf es keiner Kombinatorik.
Seien alle Münzen hintereinander aufgereiht.
Wir betrachten nun die ersten 10 Münzen, sind das 5 von jeder Sorte, sind wir fertig.
Falls nicht, so gibt es eine Sorte öfter als die andere. OBdA seien das die 1€ Münzen, bezeichnen wir deren Anzahl mit k<5.
Dann gibt es aber in den letzten 10 Münzen exakt $10-k > 5$ 1€ Münzen.
Wir verschieben dann unsere 10er Betrachtung eins nach rechts, so dass wir also nun die Münzen 2-11 betrachten.
Nun können zwei Fälle eintreten:
a) die "herausfallende" Münze entspricht der "hinzukommenden" Münze => Es ändert sich nichts an der Anzahl der $k$ 1€ Münzen.
b) die "herausfallende" Münze entspricht nicht der "hinzukommenden" Münze => Die Anzahl an 1€ Münzen ändert sich um -1, wenn die hinzukommende Münze ein 2€ Stück ist oder um +1, wenn es ein 1€ Stück ist.
D.h. insbesondere: Da sich die Anzahl der 1€ Münzen immer nur um [mm] $\pm [/mm] 1$ ändert und wenn ich zwei Werte dafür im Laufe der Zeit habe, muss jeder Wert dazwischen ebenfalls einmal angenommen werden.
Heißt: Da wir ohne eine Verschiebung k<5 1€ Münzen haben und nach 10 Verschiebungen 10-k > 5 1€ Münzen haben aber jeder Wert dazwischen nach obigen angenommen werden muss, gibt es eine Verschiebung bei der k=5 1€ Münzen (und damit auch k=5 2€ Münzen) in unserem 10er Block enthalten sind.
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:23 Mo 18.04.2022 | | Autor: | Spica |
Danke, gute Erklärung.
VG Spica
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