Verteilung- & Quantilfunktion < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hi,
ich würde gern wissen, ob folgende Ungleichung für Verteilungsfunktionen gilt:
Zufallsvariable [mm] X\ge [/mm] 0 und [mm] Y\ge [/mm] 0 mit VFunktionen [mm] F_{X}(x) [/mm] und [mm] F_{Y}(y).
[/mm]
[mm] F_{X+Y}(x)\le F_{X}(x)+F_{Y}(x)
[/mm]
und ob für die Quantilfunktionen folg. gilt:
[mm] F_{X+Y}^{-1}(x)\ge F_{X}^{-1}(x)+F_{Y}^{-1}(x)
[/mm]
Viele Aussagen oder Eigenschaften habe über die Quantilfunktion nicht finden können, wenn einer oder eine von euch nützliche links zum Thema kennt, wäre ich sehr dankbar. :)
viele grüße
PS: folgendes kenn ich schon:
[mm] X\ge [/mm] Y [mm] \Rightarrow F_{X}^{-1}(x)\ge F_{Y}^{-1}(x)
[/mm]
und
[mm] X=X^{+}-X^{-} \Rightarrow F_{X}^{-1}(x)=F_{X^{+}}^{-1}(x)-F_{X^{-}}^{-1}(x)
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Huhu,
> Hi,
> ich würde gern wissen, ob folgende Ungleichung für
> Verteilungsfunktionen gilt:
>
> Zufallsvariable [mm]X\ge[/mm] 0 und [mm]Y\ge[/mm] 0 mit VFunktionen [mm]F_{X}(x)[/mm]
> und [mm]F_{Y}(y).[/mm]
>
> [mm]F_{X+Y}(x)\le F_{X}(x)+F_{Y}(x)[/mm]
Ja, denn offensichtlich gilt:
[mm] $\{X + Y \le z\} \subset \{X \le z \} \Rightarrow F_{X+Y}(z) \le F_X(z) \Rightarrow F_{X+Y}(z) \le F_X(z) [/mm] + [mm] F_Y(z)$
[/mm]
> und ob für die Quantilfunktionen folg. gilt:
>
> [mm]F_{X+Y}^{-1}(x)\ge F_{X}^{-1}(x)+F_{Y}^{-1}(x)[/mm]
[mm] $F_{X+Y}^{-1}(x) [/mm] = [mm] \inf_{x\in\IR}\{F_{X+Y}(x) \ge z\} \overbrace{\ge}^{\text{wegen oben}} \inf_{x\in\IR}\{F_{X}(x)+F_{Y}(x) \ge z\}$ [/mm]
Ob nun auch [mm] $\inf_{x\in\IR}\{F_{X}(x)+F_{Y}(x) \ge z\} \ge \inf_{x\in\IR}\{F_{X}(x) \ge z\} [/mm] + [mm] \inf_{x\in\IR}\{F_{Y}(x) \ge z\} [/mm] $ gilt, muss ich noch weiterüberlegen.....
MFG,
Gono
|
|
|
| |
|
Hallo,
ich glaube, dass auch [mm] F_{X+Y}(z) \le \frac{1}{2}(F_X(z) [/mm] + [mm] F_Y(z)) [/mm] gilt.
Dann habe ich noch das folg. Beispiel betrachtet:
X,Y [mm] \sim [/mm] U([0,1]) und die Summe Z:=X+Y mit der DreiecksVF.
[mm] F(x)=\begin{cases} \frac{x^2}{2}, & \mbox{für } 0 \le x \le 1 \\ 1- \frac{(2-x)^2}{2}, & \mbox{für } 1 < x \le 2 \end{cases}
[/mm]
Für dieses Bsp gilt die obige Ungleichung, die Quantilsungl. [mm] F_{X+Y}^{-1}(x)\ge F_{X}^{-1}(x)+F_{Y}^{-1}(x) [/mm] jedoch nicht ganz :)
Bis zum Erwartungswert von Z (E(Z)=1) oder auch 0.5-Quantil von [mm] F_{X+Y}^{-1}, [/mm] d.h. [mm] F_{X+Y}^{-1}(0.5), [/mm] gilt [mm] F_{X+Y}^{-1}(x)\ge F_{X}^{-1}(x)+F_{Y}^{-1}(x). [/mm] Ab dem 0.5-Quantil gilt dann [mm] F_{X+Y}^{-1}(x)\le F_{X}^{-1}(x)+F_{Y}^{-1}(x).
[/mm]
mfg,
varianz12345
|
|
|
|
