Vertauschen von Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:19 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Rhia |
| Aufgabe | Es sei K ein Körper und [mm]A \in K^{n \times n}[/mm] für ein [mm]1 \le n \in \IN[/mm]. Weiter seien [mm]f,g \in K[X][/mm] zwei Polynome. Zeigen Sie, dass die Matrizen f(A) und g(A) vertauschbar sind, dass also
f(A)*g(A)=g(A)*f(A) ist. |
Hallo
wie angekündigt hier noch meine zweite Aufgabe. Und auch hier finde ich kein Packan. Könnt ihr mir vielleicht helfen?
Bis bald
Rhia
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 17:58 Sa 04.03.2006 | | Autor: | Pi3141 |
Bei solchen Aufgaben, musst du dir immer erst einmal überleben, was du überhaupt gegeben hast. Du hast zwei Polynome gegeben, die hier auf Matrizen operieren. Aber nicht auf allen Matrizen, sondern nur auf quadratische vom Grad kleiner gleich 1. Bei uns in der Vorlesung sind Matrizen minimal [mm] 1\times1 [/mm] groß, weshalb du nur diesen Fall untersuchen musst.
Du sollst jetzt zeigen, dass die beiden Polynome austauschbar sind. Das hat etwas mit der Multiplikation zweier Polynome zu tun. Also schreiben wir zuerst auf, was es bedeutet 2 Polynome zu multiplizieren. Dann kannst du zeigen, dass tatsächlich f(A)*g(A)=g(A)*f(A) gilt.
Hinweis: Hier ist die Matrixmultiplikation tatsächlich mal kommutativ (ist ja [mm] 1\times1 [/mm] ). Musst du nur noch zeigen, bevor du das benutzt.
Wenn du Fragen zu dieser Antwort hast, kannst, du ja noch mal schreiben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:36 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Bei solchen Aufgaben, musst du dir immer erst einmal
> überleben, was du überhaupt gegeben hast. Du hast zwei
> Polynome gegeben, die hier auf Matrizen operieren. Aber
> nicht auf allen Matrizen, sondern nur auf quadratische vom
> Grad kleiner gleich 1. Bei uns in der Vorlesung sind
Das stimmt nicht, die Matrizen sollen vom Grad groesser gleich 1 sein! (Falls da wirklich kleiner gleich $1$ stehen wuerde waer das schon richtig was du schreibst!)
LG Felix
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:40 Sa 04.03.2006 | | Autor: | felixf |
> Es sei K ein Körper und [mm]A \in K^{n \times n}[/mm] für ein [mm]1 \le n \in \IN[/mm].
> Weiter seien [mm]f,g \in K[X][/mm] zwei Polynome. Zeigen Sie, dass
> die Matrizen f(A) und g(A) vertauschbar sind, dass also
> f(A)*g(A)=g(A)*f(A) ist.
> Hallo
>
> wie angekündigt hier noch meine zweite Aufgabe. Und auch
> hier finde ich kein Packan. Könnt ihr mir vielleicht
> helfen?
Du brauchst, dass [mm] $A^n A^m [/mm] = [mm] A^m A^n$ [/mm] ist fuer ganze Zahlen $n, m [mm] \ge [/mm] 0$. Davon kannst du dich aber sicher schnell ueberzeugen 
Wenn du das hast, dann schreib doch $f = [mm] \sum_{i=0}^n a_i x^i$ [/mm] und $g = [mm] \sum_{j=0}^m b_j x^j$ [/mm] mit [mm] $a_i, b_j \in [/mm] K$. Dann kannst du $f(A) g(A)$ und $g(A) f(A)$ explizit ausrechnen, und da [mm] $\lambda A^k [/mm] = [mm] A^k \lambda$ [/mm] fuer alle [mm] $\lambda \in [/mm] K$ und $k [mm] \ge [/mm] 0$ ist siehst du schnell das beide Ausdruecke gleich sind.
LG Felix
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