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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:40 Mo 23.08.2010 | | Autor: | hula |
Hallöchen,
Ich hab da eine kleine Frage zum Vertauschen von Integral und Summe. Ich möchte ganz sicher sein, daher frage ich nach.
wenn ich eine Partialsumme: [mm]S_N = \summe_{i=1}^{N} f_i[/mm]
habe, wobei die $\ [mm] f_i$ [/mm] Funktionen sind (integrierbar). Dann darf ich doch folgendes machen:
[mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{S_N dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{\summe_{i=1}^{N} f_i dx} =
\limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{N} \integral_X{f_i dx } = \summe_{i=1}^{\infty} \integral_X{f_i dx }[/mm]
aufgrund der Endlichkeit der Summe. Stimmt dies?
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Hallo,
> Hallöchen,
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> Ich hab da eine kleine Frage zum Vertauschen von Integral
> und Summe. Ich möchte ganz sicher sein, daher frage ich
> nach.
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> wenn ich eine Partialsumme: [mm]S_N = \summe_{i=1}^{N} f_i[/mm]
>
> habe, wobei die [mm]\ f_i[/mm] Funktionen sind (integrierbar). Dann
> darf ich doch folgendes machen:
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> [mm]\limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{S_N dx} = \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X{\summe_{i=1}^{N} f_i dx} =
\limes_{N\rightarrow\infty} \summe_{i=1}^{N} \integral_X{f_i dx } = \summe_{i=1}^{\infty} \integral_X{f_i dx }[/mm]
>
> aufgrund der Endlichkeit der Summe. Stimmt dies?
Genau, das ist richtig.
Probleme gäbe es bloß beim Schritt [mm] $\integral_X \limes_{N\rightarrow\infty} S_N [/mm] dx = [mm] \limes_{N\rightarrow\infty} \integral_X S_N [/mm] dx$, dort wird Grenzprozess und Integral vertauscht und man müsste irgendwelche Integralkonvergenzsätze anwenden. Den Schritt hast du ja aber nicht, deswegen ist alles okay.
Grüße,
Stefan
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