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| Aufgabe | | Überprüfen Sie, dass die Funktionen m(t) = c [mm] e^{-k*t} [/mm] Lösungen der Differentialgleichung m´ = −k*m sind und dass durch jeden Punkt der (t,m)-Ebene genau eine solche Lösung geht. Skizzieren sie einige dieser Lösungen. Geben Sie auch die Isoklinen der Differentialgleichung an und skizzieren Sie das Richtungsfeld. |
Hallo liebes Team,
bei der Überprüfungen, dass m(t) = c [mm] \*e^{-k*t} [/mm] eine Lösung ist, bilde ich die erste Ableitung:
m´ [mm] (t)=\frac{\partial m (t)}{\partial t}=c *-k*e^{-k*t}=-k*c*e^{-k*t}=-k*m(t)
[/mm]
Bei der Zeichnug sind die unbekannten ja k und c, so ist z.B.:
-für k=1 und c=1
m(t)= [mm] e^{-t}
[/mm]
-für k=1 und c= 2
[mm] m(t)=2*e^{-t}
[/mm]
Das sind zwei verschiedene Lösungen,.......
Stimmt das so?
Bei den Isoklinen habe ich so meine Problem. Ich weiß das diese eine konstante Richtung besitzen, daraus folgt ja:
[mm] Z=-k*m\Rightarrow Z=-k*c*e^{-k*t}
[/mm]
Hier treten ja jetzt drei Unbekannte Variablen auf? Wie soll das jetzt lösen( bin der Meinung mein Lösungweg stimmt nicht)
Vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:39 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
> Überprüfen Sie, dass die Funktionen m(t) = c [mm]e^{-k*t}[/mm]
> Lösungen der Differentialgleichung m´ = −k*m sind und
> dass durch jeden Punkt der (t,m)-Ebene genau eine solche
> Lösung geht. Skizzieren sie einige dieser Lösungen. Geben
> Sie auch die Isoklinen der Differentialgleichung an und
> skizzieren Sie das Richtungsfeld.
> Hallo liebes Team,
>
> bei der Überprüfungen, dass m(t) = c [mm]\*e^{-k*t}[/mm] eine Lösung
> ist, bilde ich die erste Ableitung:
>
> m´ [mm](t)=\frac{\partial m (t)}{\partial t}=c *-k*e^{-k*t}=-k*c*e^{-k*t}=-k*m(t)[/mm]
>
> Bei der Zeichnug sind die unbekannten ja k und c, so ist
> z.B.:
> -für k=1 und c=1
> m(t)= [mm]e^{-t}[/mm]
>
> -für k=1 und c= 2
> [mm]m(t)=2*e^{-t}[/mm]
>
> Das sind zwei verschiedene Lösungen,.......
>
> Stimmt das so?
Ja
>
> Bei den Isoklinen habe ich so meine Problem. Ich weiß das
> diese eine konstante Richtung besitzen, daraus folgt ja:
> [mm]Z=-k*m\Rightarrow Z=-k*c*e^{-k*t}[/mm]
>
Den Begriff "Isokline" kenne ich so:
Isoklinen für die Differentialgl. $y'= f(x,y)$ sind die Kurven $f(x,y) = const. $
In deinem fall sind es Geraden.
FRED
> Hier treten ja jetzt drei Unbekannte Variablen auf? Wie
> soll das jetzt lösen( bin der Meinung mein Lösungweg stimmt
> nicht)
>
> Vielen Dank
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Hallo Fred,
so ist es gemeint.
Aber wie komme ich auf die Geraden? .....:-(
Nehme ich eine Lösung und stelle diese um?
Liebe Grüße
Junge
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 08.04.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich ändere mal die Bezeichnungsweise,
Deine DGL lautet (mit einer Konstanten k):
$y' = -ky$
Also ist hier $f(x,y) = -ky$. Nun betrachte die Kurve
$f(x,y) = const.$, also $-ky = const.$
Für k [mm] \not= [/mm] 0 ist das eine Gerade.
FRED
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Wenn ich das jetzt um stelle:
[mm] y=-\frac{ const}{k}......
[/mm]
ich soll das ja in die (x,y)- bzw.(t,m)-Ebene einzeichnen. Da kommt ja aber kein t mehr vor??? Welche Punkte gibt es dannn??????
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Hallo Sachsen-Junge,
> Wenn ich das jetzt um stelle:
>
> [mm]y=-\frac{ const}{k}......[/mm]
>
> ich soll das ja in die (x,y)- bzw.(t,m)-Ebene einzeichnen.
> Da kommt ja aber kein t mehr vor??? Welche Punkte gibt es
> dannn??????
Nun, da kein x mehr vorkommt,
gibt es für [mm]y=-\bruch{const}{k}[/mm] unendlich viele x-Werte.
Analog für die (t,m)-Ebene.
>
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo MathePower,
wie sieht denn dann eine Isokline aus?
Welchen Anstieg ist im Punkt (1/1) vorhanden?
Also:
const=1
d.h.
y=-1/k z.B für k=1 ist dies eine paralelle der x-Achse.
Denn Anstieg bekomme ich ja heraus,wenn ich DGL nehme:
y'=-k*y, da ja k= 1 ist, folgt:
y'=y , der Punkt ist ja (1/1), dann steht da ja y´=1. Dieser Anstieg ist in allen Punkten der Isokline y=-1.
Sind meine Lösungsversuche richtig, oder habe ich völlig in die"falsche Richtung" gedacht?
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Hallo Sachsen-Junge,
> Hallo MathePower,
>
> wie sieht denn dann eine Isokline aus?
>
> Welchen Anstieg ist im Punkt (1/1) vorhanden?
>
> Also:
>
> const=1
> d.h.
>
> y=-1/k z.B für k=1 ist dies eine paralelle der x-Achse.
Das sind sie auch für alle anderen [mm]k\not=0[/mm].
>
> Denn Anstieg bekomme ich ja heraus,wenn ich DGL nehme:
>
> y'=-k*y, da ja k= 1 ist, folgt:
>
> y'=y , der Punkt ist ja (1/1), dann steht da ja y´=1.
> Dieser Anstieg ist in allen Punkten der Isokline y=-1.
>
> Sind meine Lösungsversuche richtig, oder habe ich völlig in
> die"falsche Richtung" gedacht?
>
Deine Lösungsversuche sind richtig.
Gruß
MathePower
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