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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:48 Di 06.07.2004 | | Autor: | bsgk |
Hi,
ich habe zur Klausurvorbereitung ein paar Verständnisfragen bekommen, von denen ich mir einige allerdings nicht wirklich erklären kann, könnt ihr mir weiterhelfen?
Da wären also folgende Fragen:
1.)Was ist der Unterschied zwischen einer Algebra und einem Ring?
2.)Weshalb kann man von der Determinate eines Endomorphismus reden?
3.)Was ist ein maximales Ideal eines Ringes
4.)Wie hängen [mm] \alpha \in [/mm] End(V) mit [mm] Minpol(\alpha) [/mm] zusammen.
5.) Sind nilpotente Endomorphismen diagonalisierbar?
Danke
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 16:24 Di 06.07.2004 | | Autor: | choosy |
Ich hoffe ich kann dir in einigen punkten weiter helfen, ist alles schon eine weile her...:
1.)Was ist der Unterschied zwischen einer Algebra und einem Ring?
Wenn ich mich recht errinnere wird doch eine Algebra über einem Ring
definiert, ähnlich wie ein vektorraum über einem körper definiert wird...
2.)Weshalb kann man von der Determinate eines Endomorphismus reden?
Ein Endomorphismuss ist i.A. eine Lineare Abb. von einem Vektorraum V in sich selbst. Da eine Lineare abbildung durch die bilder der Basisvektoren eindeutig bestimmt ist, und man hier von V nach V abbildet, ist ein Endomorphismus imho. gegeben durch eine Quadratische Matrix.
für diese kann man eine Determinante berechnen.
da diese matrix als abbildung der endomorphismus ist, kann man also
von der determinante des endos reden.
3.)Was ist ein maximales Ideal eines Ringes
Ein Ideal I eines Ringes R ist Maximal, wenn es kein weiteres Ideal M [mm] \neq [/mm] R gibt so das [mm] I\subset [/mm] M [mm] \subset [/mm] R
4.)Wie hängen End(V) mit zusammen.
5.) Sind nilpotente Endomorphismen diagonalisierbar?
Ich bin mir hier nicht so ganz sicher, aber wenn ein Endomorphismus
nilpotent ist, dann hat er bestimmt nicht vollen rang, d.h. ist kein isomorphismus.
Eine diagonal matrix sollte aber immer vollen rang haben oder?
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Also, ich versuche es auch einmal...
1.)Was ist der Unterschied zwischen einer Algebra und einem Ring?
Das ist nicht so ganz einheitlich... bei uns war eine Algebra stets ein Vektorraum über einem Körper, der zusätzlich über eine Mulitplikation verfügt, also quasi ein Ring "über einem Körper". In manchen Büchern wird ein "ring über einem Ring" auch als Algebra bezeichnet, in anderen nennt man dies dann einen "Modul".
2.)Weshalb kann man von der Determinate eines Endomorphismus reden?
Das kann man nur im endlichdimensionalen Fall, den ich mal voraussetze. Was gesagt wurde stimmt, man kann jeden Endomorphismus bzgl. einer Basis von V als Matrix schreiben, die dann eine Determinante hat. Allerdings ist in dem Zusammenhang entscheidend, dass die Determinante von der Wahl dieser Basis NICHT abhängt! Denn die Matrix bzgl. einer anderen Basis ist konjugiert (ähnlich) zu der ersten und ähnliche Matrizen haben nach Determinantenproduktsatz die gleiche Determinante.
3.)Was ist ein maximales Ideal eines Ringes
Das ist korrekt definiert - ein Ideal ist eine Teilmenge des Ringes, die eine Untergruppe der additiven Gruppe ist und zugleich abgeschlossen unter Mulitplikation mit beliebigen Ringelementen. Ein maximales Ideal ist eines, das außer dem Ring selbst kein Ideal besitzt, das echt darüber liegt.
4.)Wie hängen End(V) mit zusammen.
Jeder Endomorphismus hat ein Minimalpolynom, das formal definiert ist als der normierte Erzeuger desjenigen Ideals im Polynomring, welches den Endomorphismus annuliert, d.h.
[mm] (m) = \{ f \in k[x] : f(\alpha) = 0 \} [/mm]
Am Minimalpolynom kann man einige Dinge ablesen - z.B. ist ein zerfallender Endomorphismus genau dann diagonalisierbar, wenn sein Minimalpolynom nur einfache Nullstellen besitzt. Zerfallend heißt hierbei, dass das charakteristische Polynom in Linearfaktoren zerfällt.
5.) Sind nilpotente Endomorphismen diagonalisierbar?
Nein, im Allgemeinen nicht. Betrachte z.B. über [mm] \IR^2 [/mm]:
[mm] \begin{pmatrix} 0&1\\0&0 \end{pmatrix}[/mm]
Diese Matrix ist offensichtlich nilpotent, aber das Minimalpolynom ist [mm] x^2 [/mm] und dieses hat eine doppelte Nullstelle.
Ich hoffe, das klärt die Ding etwas.
Gnometech
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:59 Mi 07.07.2004 | | Autor: | bsgk |
Super , danke Euch beiden!
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