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Verständnisfrage zur Integrati: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:35 Do 14.01.2010
Autor: Yuumura

Aufgabe
[mm] \integral_{}^{}{(2x+3)^3 dx} [/mm]

Integrieren sie

So meine frage ist, wieso man um zu Integrieren, die 2 einfach vernichten kann, indem man 1/2 davor schreibt ? Normaleweise müsste man doch faktoren/Konstanten vor das Integral ziehen können, warum muss man den Kehrwert bilden ?

Selbst wenn man dadurch die 2 bei 2x weggebkommt, so bezieht sich die zahl 1/2 auf den ganzen term 2x+3...

Denn die Lösung müsste ja sein 1/2 [mm] \integral_{}^{}{(x+3)^3dx} [/mm]
und daraus ganz einfach 1/2 * 1/4 * [mm] (x+3)^4 [/mm] + C..

Kann mir jemand erläutern woher die 1/2 kommen oder besser warum man das so machen kann ?

Danke im Vorraus !

        
Bezug
Verständnisfrage zur Integrati: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:44 Do 14.01.2010
Autor: schachuzipus

Hallo Yumuura,

> [mm]\integral_{}^{}{(2x+3)^3 dx}[/mm]
>  
> Integrieren sie
>  So meine frage ist, wieso man um zu Integrieren, die 2
> einfach vernichten kann, indem man 1/2 davor schreibt ?
> Normaleweise müsste man doch faktoren/Konstanten vor das
> Integral ziehen können, warum muss man den Kehrwert bilden
> ?
>  
> Selbst wenn man dadurch die 2 bei 2x weggebkommt, so
> bezieht sich die zahl 1/2 auf den ganzen term 2x+3...
>  
> Denn die Lösung müsste ja sein 1/2
> [mm]\integral_{}^{}{(x+3)^3dx}[/mm]
>  und daraus ganz einfach 1/2 * 1/4 * [mm](x+3)^4[/mm] + C..
>  
> Kann mir jemand erläutern woher die 1/2 kommen oder besser
> warum man das so machen kann ?

Dieses Integral soll sicher mit einer Substitution gelöst werden.

$z:=z(x)=2x+3$

Damit ist [mm] $z'(x)=\frac{dz}{dx}=2$, [/mm] also [mm] $dx=\frac{1}{2}dz$ [/mm]

Damit kommst du auf das Integral [mm] $\int{z^3 \ \frac{1}{2}dz}=\frac{1}{2}\int{z^3 \ dz}$ [/mm]

Mit dem Ausklammern klappt das so einfach, wie du es dir gemacht hast, nicht.

Es ist [mm] $(2x+3)^3=\left[2\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)\right]^3=2^3\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)^3=8\cdot{}\left(x+\frac{3}{2}\right)^3$ [/mm]

Da kannst du die 8 als multiplikative Konstante aus dem Integral ziehen und bekommst [mm] $8\cdot{}\int{\left(x+\frac{3}{2}\right)^3 \ dx}$ [/mm]

Auch hier empfiehlt sich dann eine Substitution [mm] $z:=z(x)=x+\frac{3}{2}$ [/mm]

LG

schachuzipus

>
> Danke im Vorraus !


Bezug
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