Verständnisfrage Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:02 So 11.01.2009 | | Autor: | mathe_FS |
| Aufgabe | | Bsp.: [mm] a_{n}=\wurzel[]{n^2+3n}-n [/mm] |
Hallo,
mein Problem liegt im Beweis der Konvergenz.
Ich weiß eine Folge ist konvergent, wenn sie beschränkt und monoton wachsend bzw. fallend ist.
Zur Beschränktheit: ich suche also sup oder inf der Folge. Für das Beispiel wäre inf=1 (richtig?). Somit ist die Folge beschränkt - WÜRDE DAS REICHEN FÜR DIE BESCHRÄNKTHEIT???
Zur Monotonie: hier weiß ich, dass [mm] a_{n+1}<>a_{n} [/mm] sein muss. Also würde ich die Folgeglieder ausrechnen und dann sagen, dass die Folge monoton wachsen bzw. fallend ist. Für das Beispiel ergibt sich monoton steigend, da [mm] a_{1}=1, a_{2}=1,16, a_{3}=1,24, [/mm] ...
In einer Übungsaufgabe habe ich mal rein formal gezeigt das [mm] a_{n+1}
Welcher Weg ist nun geeignet um Monotonie zu zeigen???
Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helft.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:15 So 11.01.2009 | | Autor: | fred97 |
Hier brauchst Du einen Trick, den Du nicht vergessen solltest:
Erweitere [mm] a_n [/mm] mit [mm] (\wurzel{n^2+3n} [/mm] +n)
Du erhälst einen Bruch. Klammere dann n aus und kürze. Dann siehst Du : der Grenzwert ist = 3
Pardon: der Limes ist 3/2
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:57 So 11.01.2009 | | Autor: | mathe_FS |
Hallo,
vielen Dank für deine Antwort.
Grenzwertberechnung macht mir keine Probleme.
Ich habe nur Probleme, Konvergenz zu zeigen und da reicht es den Dozenten nicht, wenn wir nur zeigen, dass es einen Grenzwert gibt, den sollen wir ja extra berechnen.
Könntest du mir vielleicht erläutern, wie ich Monotonie und Beschränktheit richtig beweise???
Danke.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:09 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Mach auf jeden Fall den Trick mit dem erweitern. Dann brauchst du bei mon. steigend ne OBERE Schranke. Wenn du den GW hast kennst du auch ne obere Schranke! kannst du die zeigen?
Monotonie mit [mm] a_{n+1}>a_n [/mm] reicht, da alle [mm] a_n>0
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:39 So 11.01.2009 | | Autor: | mathe_FS |
vielleicht mach ich irgendwo nen Fehler beim rechnen, aber ich komm beim besten Willen nicht auf GW=3.
Wenn ich das erweitert habe und ausmultipliziert, komme ich auf
[mm] \bruch{3n}{\wurzel{n^2+3n}+n}. [/mm] Habt ihr das auch oder hab ich mich vorher schon mal verrechnet.
wenn ich da jetzt n ausklammer und gegen [mm] \infty [/mm] gehe komme ich auf [mm] \bruch{3}{\infty+1} [/mm] naja und das würde ja null werden.
Vielleicht steh ich auch voll aufm Schlauch, verlier auch langsam meine Motivation, sorry.
Nun aber noch mal zu Beschränktheit und Monotonie. Ich mein bei der Aufgabe mag das ja so gehen. Gibt es eine allgemeine Vorschrift, wie man B. und Mo. zeigt oder nicht???
Und dann noch ne Frage, wo wir gerade dabei sind. Wie kann ich den Grenzwert aus folgender Folge bestimmen:
[mm] a_{n+1}=\bruch{a_{n}}{2}+\bruch{2}{a_{n}}
[/mm]
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:54 So 11.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
wenn du durch n kürzt (nicht ausklammerst hast du
[mm] \bruch{3}{\wurzel{1+1/n}+1} [/mm] das gibt allerdings 3/2 und nicht 3.
zu2. wenn eine rekursiv def, Folge einen GW hat, dann ist [mm] lima_n=lima_{n+1}=g
[/mm]
du setzt also einfach g in deine Gl. ein.
$ [mm] g=\bruch{g}{2}+\bruch{2}{g} [/mm] $
Das darf man eigentlich natürlich nur, nachdem man bewiesen hat, dass die Folge konvergiert. (schad aber auch nichts vorher, damit man weiss was der GW ist!)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:49 Mo 12.01.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> vielen Dank für deine Antwort.
> Grenzwertberechnung macht mir keine Probleme.
> Ich habe nur Probleme, Konvergenz zu zeigen und da reicht
> es den Dozenten nicht, wenn wir nur zeigen, dass es einen
> Grenzwert gibt, den sollen wir ja extra berechnen.
Das glaube ich nicht !!
Wenn es einen Grenzweert gibt, ist die Folge konvergent !!
FRED
> Könntest du mir vielleicht erläutern, wie ich Monotonie
> und Beschränktheit richtig beweise???
> Danke.
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