Verständnisfrage Geraden im R3 < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:15 Mi 18.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
| Aufgabe | Wie berechne ich den Normalenvektor einer Geraden oder einer Ebene im R3?
Wie berechne ich den Abstand von einer Geraden zu einem Punkt im R3?
Kann man den Abstand von zwei nicht parallelen Ebenen oder Geraden überhaupt bestimmen?
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So,
Frage 1)
Im R2 war es ja einfach: die beiden Werte des Vektors der Geraden vertauschen und einmal das Vorzeichen ändern. Aber wie geht es im R3?
Da gibt es ja eig. unendlich viele oder?
Kann man da keinen genauen bestimmen?
Bei Ebenen im R3 ist es doch genauso: ich vertausche 2 der 3 Werte und der dritte wird 0. Und einmal das Vorzeichen ändern.
Liege ich da richtig?
Frage 2)
ich brauch hier ja den Normalenvektor der Geraden, aber den weiß ich ja nicht, wie ich den herausbekommen :(
Aber wenn ich ihn habe, dann muss ich doch die hessische normalform bilden mit dem Punkt und den Normalenvektor. Wenn ich das habe, bilde ich den Schnittpunkt mit Ebene und Gerade und dann die Länge des Schnittpunktes und des vorher gegebenen Punktes
Richtig?
Frage 3)
Normal geht das doch nicht, weil der Abstand immer unterschiedlich ist und irgendwann ist er ja Null, nämlich da, wo sie sich schneiden . oder?
Ausnahme: windschiefe Geraden im R3. Da kann man den Abstand ja auch Berechnen, indem ne parallele Ebene bildet zu einer Geraden .
Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
MfG
Nordi
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Hallo Leute:
dieser (mein) Beitrag wurde kritisiert, zum Teil mit gutem Grund.
Ich bin auf die Kritik weiter unten eingegangen.
Ich lasse diesen Beitrag aber trotzdem fast unverändert stehen...
(n0rdi:)
> Wie berechne ich den Normalenvektor einer Geraden oder
> einer Ebene im R3?
> Wie berechne ich den Abstand von einer Geraden zu einem
> Punkt im R3?
> Kann man den Abstand von zwei nicht parallelen Ebenen oder
> Geraden überhaupt bestimmen?
>
> So,
> Frage 1)
> Im R2 war es ja einfach: die beiden Werte des Vektors der
> Geraden vertauschen und einmal das Vorzeichen ändern. Aber
> wie geht es im R3?
> Da gibt es ja eig. unendlich viele oder?
klar !
> Kann man da keinen genauen bestimmen?
Es gibt keinen bevorzugten Normalenvektor.
Um alle möglichen Normalenvektoren
darzustellen, könntest du zuerst zwei davon
ermitteln, sagen wir [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b} [/mm] (sie
sollen linear unabhängig sein !).
Jeder Normalenvektor [mm] \vec{n} [/mm] ist dann eine
Linearkombination davon:
[mm] \vec{n}=x*\vec{a}+y*\vec{b} [/mm] mit [mm] x,y\in \IR
[/mm]
hier fehlte noch die Einschränkung: [mm] (x,y)\not=(0,0) [/mm]
> Bei Ebenen im R3 ist es doch genauso: ich vertausche 2 der
> 3 Werte und der dritte wird 0. Und einmal das Vorzeichen
> ändern.
> Liege ich da richtig?
????? ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") nein
was willst du jetzt genau? einen Normalenvektor zu einer
Ebene ? Den kannst du aus der Koordinatengleichung der
Ebene ablesen: Die Ebene a*x+b*y+c*z+d=0 hat den
Normalenvektor [mm] \vec{n}=\vektor{a\\b\\c} [/mm]
(oder jedes beliebige Vielfache davon: [mm] t*\vec{n} [/mm] mit [mm] t\not=0 [/mm] )
>
> Frage 2)
> ich brauch hier ja den Normalenvektor der Geraden, aber
> den weiß ich ja nicht, wie ich den herausbekommen :(
> Aber wenn ich ihn habe, dann muss ich doch die hessische
> normalform bilden mit dem Punkt und den Normalenvektor.
> Wenn ich das habe, bilde ich den Schnittpunkt mit Ebene und
> Gerade und dann die Länge des Schnittpunktes und des vorher
> gegebenen Punktes
> Richtig?
Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen davon
an einem Beispiel an:
Gerade g: [mm] \vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1} [/mm] Punkt P(7/3/6)
Eine zu g normale Ebene E hat eine Gleichung der Form 5x+y-2z=d ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
hier habe ich einen in diesem Zusammenhang recht hässlichen
Fehler gemacht: die Gleichungen müssen natürlich lauten:
2x+z=d bzw. 2x+z=2*7+6=20
Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt F.
Den Abstand bekommst du dann als Betrag von [mm] \overrightarrow{PF}
[/mm]
Lösung: Fusspunkt F(8.2/1/3.6) , Abstand 3.347
richtig wäre: Fusspunkt F(9.8/1/0.4) , Abstand 6.573
>
> Frage 3)
> Normal geht das doch nicht, weil der Abstand immer
> unterschiedlich ist und irgendwann ist er ja Null, nämlich
> da, wo sie sich schneiden . oder?
Abstand nicht paralleler Ebenen macht keinen Sinn.
> Ausnahme: windschiefe Geraden im R3. Da kann man den
> Abstand ja auch Berechnen, indem ne parallele Ebene bildet
> zu einer Geraden .
(eigentlich zwei parallele Ebenen [mm] E_1 [/mm] und [mm] E_2, [/mm] welche je eine
der beiden Geraden enthalten; als Grenzfall dieser Definition
des Abstands windschiefer Geraden könnte man eigentlich
sagen: zwei einander kreuzende Geraden im [mm] \IR^3 [/mm] haben den
Abstand null. Das ist mir nur gerade so durch den Kopf
gegangen...)
>
> Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
>
> MfG
> Nordi
LG al-Chw.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:00 Do 19.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
> > Frage 1)
> > Im R2 war es ja einfach: die beiden Werte des Vektors
> der
> > Geraden vertauschen und einmal das Vorzeichen ändern. Aber
> > wie geht es im R3?
> > Da gibt es ja eig. unendlich viele oder?
>
> klar !
>
> > Kann man da keinen genauen bestimmen?
>
> Es gibt keinen bevorzugten Normalenvektor.
> Um alle möglichen Normalenvektoren
> darzustellen, könntest du zuerst zwei
> davon
> ermitteln, sagen wir [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] (sie
> sollen linear unabhängig sein !).
> Jeder Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] ist dann
> eine
> Linearkombination davon:
>
> [mm]\vec{n}=x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm] mit [mm]x,y\in \IR[/mm]
wie bestimme ich denn [mm] x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm] [/mm] ?
wenn ich die 2 Vektoren habe der Geradeb, muss ich dann das Kreuzprodukt bilden davon?
>
> > Bei Ebenen im R3 ist es doch genauso: ich vertausche 2 der
> > 3 Werte und der dritte wird 0. Und einmal das Vorzeichen
> > ändern.
> > Liege ich da richtig?
>
> ????? nein
>
> was willst du jetzt genau? einen Normalenvektor zu einer
> Ebene ? Den kannst du aus der Koordinatengleichung der
> Ebene ablesen: Die Ebene a*x+b*y+c*z+d=0 hat den
> Normalenvektor [mm]\vec{n}=\vektor{a\\b\\c}[/mm]
> (oder jedes beliebige Vielfache davon: [mm]t*\vec{n}[/mm] mit
> [mm]t\not=0[/mm] )
achja stimmt sorry ich weiß es wieder, war gestern total durcheinander mit dem ganzen kram ;)
> >
> > Frage 2)
> > ich brauch hier ja den Normalenvektor der Geraden, aber
> > den weiß ich ja nicht, wie ich den herausbekommen :(
> > Aber wenn ich ihn habe, dann muss ich doch die
> hessische
> > normalform bilden mit dem Punkt und den Normalenvektor.
> > Wenn ich das habe, bilde ich den Schnittpunkt mit Ebene und
> > Gerade und dann die Länge des Schnittpunktes und des vorher
> > gegebenen Punktes
> > Richtig?
>
> Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
> Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen davon
> an einem Beispiel an:
>
> Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> Punkt P(7/3/6)
>
> Eine zu g normale Ebene hat eine Gleichung der Form
> 5x+y-2z=d
> Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung
> 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
die 26? was soll das sein?
*edit* ah das ist das c der Punkt-normalenform oder?
Aber ich komme nicht auf den Schnittpunkt :(
> Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt
> F.
> Den Abstand bekommst du dann als Betrag von
> [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
> Lösung: Fusspunkt F(8.2/1/3.6) , Abstand 3.347
>
> >
> > Frage 3)
> > Normal geht das doch nicht, weil der Abstand immer
> > unterschiedlich ist und irgendwann ist er ja Null, nämlich
> > da, wo sie sich schneiden . oder?
>
> Abstand nicht paralleler Ebenen macht keinen Sinn.
>
> > Ausnahme: windschiefe Geraden im R3. Da kann man den
> > Abstand ja auch Berechnen, indem ne parallele Ebene bildet
> > zu einer Geraden .
>
> (eigentlich zwei parallele Ebenen [mm]E_1[/mm] und [mm]E_2,[/mm] welche je
> eine
> der beiden Geraden enthalten; als Grenzfall dieser
> Definition
> des Abstands windschiefer Geraden könnte man eigentlich
> sagen: zwei einander kreuzende Geraden im [mm]\IR^3[/mm] haben den
> Abstand null. Das ist mir nur gerade so durch den Kopf
> gegangen...)
>
> >
> > Danke für euer Bemühen und Rat schon einmal im Voraus
> >
> > MfG
> > Nordi
>
>
> LG al-Chw.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:13 Do 19.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo n0rdi,
> wie bestimme ich denn [mm]x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm][/mm] ?
> wenn ich die 2 Vektoren habe der Geradeb, muss ich dann das
> Kreuzprodukt bilden davon?
die Frage dürfte sich nach meiner Korrekturmitteilung oben erledigt haben?!
> > Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
> > Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen davon
> > an einem Beispiel an:
Anm: al-Chw. führt hier das Lotfußpunktverfahren im Prinzip korrekt vor,
hat sich aber beim Normalenvektor verguckt:
Als Normalenvektor der Hilfsebene ist der Richtungsvektor der Geraden zu wählen
> > Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> > Punkt P(7/3/6)
> >
> > Eine zu g normale Ebene hat eine Gleichung der Form
> > 5x+y-2z=d
richtig: 2x + 0y + 1z = d
> > Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung
> > 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
richtig: 2x + z = 20
> die 26? was soll das sein?
eine Normalenform hat die Gestalt: [mm] $\vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vec{n} [/mm] * [mm] \vec{x_0}$
[/mm]
> *edit* ah das ist das c der Punkt-normalenform oder?
> Aber ich komme nicht auf den Schnittpunkt :(
setze die Parameterform der Geraden einfach in diese NF ein:
$2 * (5+2t) + (-2+t) = 20 [mm] \Leftrightarrow [/mm] t = [mm] \frac{12}{5}$
[/mm]
Jetzt dieses t in die Geradengleichung einsetzen.
> > Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt
> > F.
> > Den Abstand bekommst du dann als Betrag von
> > [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
> > sagen: zwei einander kreuzende Geraden im [mm]\IR^3[/mm] haben
> > den Abstand null. Das ist mir nur gerade so durch den Kopf
> > gegangen...)
das stimmt schon.
LG
Will
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 Do 19.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
> Hallo n0rdi,
>
> > wie bestimme ich denn [mm]x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm][/mm] ?
> > wenn ich die 2 Vektoren habe der Geradeb, muss ich dann das
> > Kreuzprodukt bilden davon?
>
> die Frage dürfte sich nach meiner Korrekturmitteilung oben
> erledigt haben?!
also, wenn mich mein lehrer in der arbeit morgen fragen würde, was der normalenvektor der gerade sein soll, kann ich ihm keine antwort geben? weils unmöglich ist?
Aber wie berechne ich denn den Abstand einer Geraden zum Ursprung?
Muss ich dann den Ursprung einfach als einen Punkt mit O(0|0|0) ansehen und dann wie unten verfahren?
[mm] \vec{n}=x\cdot{}\vec{a}+y\cdot{}\vec{b} [/mm] das geht auch dann nicht? (wusste nicht, ob das phantasievoll und falsch auf die gleichung bezogen war ;) )
>
> > > Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
> > > Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen
> davon
> > > an einem Beispiel an:
>
> Anm: al-Chw. führt hier das Lotfußpunktverfahren im Prinzip
> korrekt vor,
> hat sich aber beim Normalenvektor verguckt:
> Als Normalenvektor der Hilfsebene ist der Richtungsvektor
> der Geraden zu wählen
>
> > > Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> > > Punkt P(7/3/6)
> > >
> > > Eine zu g normale Ebene hat eine Gleichung der Form
> > > 5x+y-2z=d
>
> richtig: 2x + 0y + 1z = d
>
> > > Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung
> > > 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
>
> richtig: 2x + z = 20
>
> > die 26? was soll das sein?
>
> eine Normalenform hat die Gestalt: [mm]\vec{n} * \vec{x} = \vec{n} * \vec{x_0}[/mm]
>
> > *edit* ah das ist das c der Punkt-normalenform oder?
> > Aber ich komme nicht auf den Schnittpunkt :(
>
> setze die Parameterform der Geraden einfach in diese NF
> ein:
> [mm]2 * (5+2t) + (-2+t) = 20 \Leftrightarrow t = \frac{12}{5}[/mm]
>
> Jetzt dieses t in die Geradengleichung einsetzen.
>
> > > Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt
> > > F.
> > > Den Abstand bekommst du dann als Betrag von
> > > [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
>
> > > sagen: zwei einander kreuzende Geraden im [mm]\IR^3[/mm] haben
> > > den Abstand null. Das ist mir nur gerade so durch den
> Kopf
> > > gegangen...)
>
> das stimmt schon.
ich komme nun auf einen Abstand von 6,5 LE!
>
> LG
> Will
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Do 19.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo n0rdi,
> >
> > > wie bestimme ich denn [mm]x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm][/mm] ?
> > > wenn ich die 2 Vektoren habe der Geradeb, muss ich dann das
> > > Kreuzprodukt bilden davon?
> >
> > die Frage dürfte sich nach meiner Korrekturmitteilung oben
> > erledigt haben?!
> also, wenn mich mein lehrer in der arbeit morgen fragen
> würde, was der normalenvektor der gerade sein soll, kann
> ich ihm keine antwort geben? weils unmöglich ist?
wenn es sich um eine Gerade im [mm] $\IR^3$ [/mm] handelt, gibt es keine Normalenform von ihr.
Dein Lehrer wird dann auch sicher nicht so eine seltsame Frage stellen,
es sei denn er legt es darauf an, seine Schüler hereinzulegen 
> Aber wie berechne ich denn den Abstand einer Geraden zum
> Ursprung?
> Muss ich dann den Ursprung einfach als einen Punkt mit
> O(0|0|0) ansehen und dann wie unten verfahren?
genau so ist es.
> [mm]\vec{n}=x\cdot{}\vec{a}+y\cdot{}\vec{b}[/mm] das geht auch
> dann nicht? (wusste nicht, ob das phantasievoll und falsch
> auf die gleichung bezogen war ;) )
war es.
> > > > Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
> > > > Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen
> > davon
> > > > an einem Beispiel an:
> >
> > Anm: al-Chw. führt hier das Lotfußpunktverfahren im Prinzip
> > korrekt vor,
> > hat sich aber beim Normalenvektor verguckt:
> > Als Normalenvektor der Hilfsebene ist der
> Richtungsvektor
> > der Geraden zu wählen
> >
> > > > Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> > > > Punkt P(7/3/6)
> > > >
> > > > Eine zu g normale Ebene hat eine Gleichung der Form
> > > > 5x+y-2z=d
> >
> > richtig: 2x + 0y + 1z = d
> >
> > > > Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung
> > > > 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
> >
> > richtig: 2x + z = 20
> >
> > > die 26? was soll das sein?
> >
> > eine Normalenform hat die Gestalt: [mm]\vec{n} * \vec{x} = \vec{n} * \vec{x_0}[/mm]
>
> >
> > > *edit* ah das ist das c der Punkt-normalenform oder?
> > > Aber ich komme nicht auf den Schnittpunkt :(
> >
> > setze die Parameterform der Geraden einfach in diese NF
> > ein:
> > [mm]2 * (5+2t) + (-2+t) = 20 \Leftrightarrow t = \frac{12}{5}[/mm]
>
> >
> > Jetzt dieses t in die Geradengleichung einsetzen.
> >
> > > > Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt
> > > > F.
> > > > Den Abstand bekommst du dann als Betrag von
> > > > [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
> >
> > > > sagen: zwei einander kreuzende Geraden im [mm]\IR^3[/mm] haben
> > > > den Abstand null. Das ist mir nur gerade so durch den
> > Kopf
> > > > gegangen...)
> >
> > das stimmt schon.
> ich komme nun auf einen Abstand von 6,5 LE!
es sind genau [mm] $\frac{6}{5} [/mm] * [mm] \sqrt{30} \approx [/mm] 6.57267069$.
LG
Will
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| Status: |
(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 09:58 Do 19.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> > Wie berechne ich den Normalenvektor einer Geraden oder
> > einer Ebene im R3?
> > Wie berechne ich den Abstand von einer Geraden zu einem
> > Punkt im R3?
> > Kann man den Abstand von zwei nicht parallelen Ebenen
> oder
> > Geraden überhaupt bestimmen?
> >
> > So,
> > Frage 1)
> > Im R2 war es ja einfach: die beiden Werte des Vektors
> der
> > Geraden vertauschen und einmal das Vorzeichen ändern. Aber
> > wie geht es im R3?
> > Da gibt es ja eig. unendlich viele oder?
>
> klar !
Im [mm] $\IR^3$ [/mm] gibt es keine Normalenform einer Geraden, weil die Richtung durch Angabe eines Normalenvektors gar nicht eindeutig bestimmt wäre.
> > Kann man da keinen genauen bestimmen?
>
> Es gibt keinen bevorzugten Normalenvektor.
> Um alle möglichen Normalenvektoren
> darzustellen, könntest du zuerst zwei
> davon
> ermitteln, sagen wir [mm]\vec{a}[/mm] und
> [mm]\vec{b}[/mm] (sie
> sollen linear unabhängig sein !).
> Jeder Normalenvektor [mm]\vec{n}[/mm] ist dann
> eine
> Linearkombination davon:
>
> [mm]\vec{n}=x*\vec{a}+y*\vec{b}[/mm] mit [mm]x,y\in \IR[/mm]
das ist zwar sehr phantasievoll, aber leider nicht richtig 
> > Bei Ebenen im R3 ist es doch genauso: ich vertausche 2 der
> > 3 Werte und der dritte wird 0. Und einmal das Vorzeichen
> > ändern.
> > Liege ich da richtig?
>
> ????? nein
>
> was willst du jetzt genau? einen Normalenvektor zu einer
> Ebene ? Den kannst du aus der Koordinatengleichung der
> Ebene ablesen: Die Ebene a*x+b*y+c*z+d=0 hat den
> Normalenvektor [mm]\vec{n}=\vektor{a\\b\\c}[/mm]
> (oder jedes beliebige Vielfache davon: [mm]t*\vec{n}[/mm] mit
> [mm]t\not=0[/mm] )
>
> >
> > Frage 2)
> > ich brauch hier ja den Normalenvektor der Geraden, aber
> > den weiß ich ja nicht, wie ich den herausbekommen :(
> > Aber wenn ich ihn habe, dann muss ich doch die
> hessische
> > normalform bilden mit dem Punkt und den Normalenvektor.
> > Wenn ich das habe, bilde ich den Schnittpunkt mit Ebene und
> > Gerade und dann die Länge des Schnittpunktes und des vorher
> > gegebenen Punktes
> > Richtig?
>
> Die Hessesche Normalform hat hier nichts zu suchen.
> Es gibt verschiedene Lösungswege. Ich gebe einen davon
> an einem Beispiel an:
>
> Gerade g: [mm]\vec{r}=\vektor{5\\1\\-2}+t*\vektor{2\\0\\1}[/mm]
> Punkt P(7/3/6)
>
> Eine zu g normale Ebene hat eine Gleichung der Form
> 5x+y-2z=d
> Diejenige davon, die durch P geht, hat die Gleichung
> 5x+y-2z=5*7+3-2*6=26
> Der Schnittpunkt von g mit E ist der gesuchte Lotfusspunkt
> F.
> Den Abstand bekommst du dann als Betrag von
> [mm]\overrightarrow{PF}[/mm]
> Lösung: Fusspunkt F(8.2/1/3.6) , Abstand 3.347
>
> >
> > Frage 3)
> > Normal geht das doch nicht, weil der Abstand immer
> > unterschiedlich ist und irgendwann ist er ja Null, nämlich
> > da, wo sie sich schneiden . oder?
>
> Abstand nicht paralleler Ebenen macht keinen Sinn.
als Abstand zweier Objekte betrachtet man immer den kürzesten.
Der ist bei nicht parallelen Ebenen stets Null, weil diese sich schneiden.
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:34 Do 19.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo koepper,
warum ist die phantasievolle Lösung nicht richtig?
Zumindest mit der Ergänzung x,y beide ungleich 0 (oder meintest Du, dass dieser Hinweis fehlt?) ist doch jede Linearkombination der beiden speziellen Normalenvektoren [mm] $\vec [/mm] a, [mm] \vec [/mm] b$ ein weiterer Normalenvektor zur Geraden.
Dass man daraus keine Normalenform der Gerade in R3 bauen kann, steht auf einem anderen Blatt...
Schöne Grüße,
ardik
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:57 Do 19.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo ardik,
> warum ist die phantasievolle Lösung nicht richtig?
>
> Zumindest mit der Ergänzung x,y beide ungleich 0 (oder
> meintest Du, dass dieser Hinweis fehlt?) ist doch jede
> Linearkombination der beiden speziellen Normalenvektoren
> [mm]\vec a, \vec b[/mm] ein weiterer Normalenvektor zur Geraden.
Für Geraden im [mm] $\IR^3$ [/mm] ist der Begriff Normalenvektor im allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch nicht definiert.
Nur für Geraden im [mm] $\IR^2$ [/mm] definiert man ihn. Der Grund ist wohl auch klar: Es gibt keine Verwendung, die einen extra Begriff rechtfertigen könnte für einen Vektor, der weder nach Länge noch nach Orientierung oder Richtung eindeutig bestimmt wäre.
Der Untervektorraum, den al Chw. hier baute, um einen "Normalenvektor" zu definieren, trägt bereits einen handlichen Namen.
Es ist das "orthogonale Komplement" des Richtungsvektors im [mm] $\IR^3$. [/mm] Wenn du nun jedes Element dieses orthogonalen Komplementes als "Normalenvektor" definieren willst, steht dir das natürlich als Wissenschaftler frei.
Mach es aber ggf. bitte nicht in Gegenwart von Schülern, weil das große Verwirrung stiften würde.
Für einen Schüler dient ein Normalenvektor stets dazu, Normalenformen zu bauen.
> Dass man daraus keine Normalenform der Gerade in R3 bauen
> kann, steht auf einem anderen Blatt...
eben
Gruß von Will
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:29 Do 19.06.2008 | | Autor: | n0rdi |
kurze frage noch:
bei zwei parallelen Geraden im R3, berechne ich den Abstand wie oben dann?
da der Abstand ja immer gleich ist aufgrund der Parallelität, kann ich doch das Verfahren wie bei der Berechnung einer Geraden und einem Punkt (auf der anderen Geraden) handhaben oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:12 Do 19.06.2008 | | Autor: | koepper |
Hi n0rdi,
> bei zwei parallelen Geraden im R3, berechne ich den
> Abstand wie oben dann?
ja.
> da der Abstand ja immer gleich ist aufgrund der
> Parallelität, kann ich doch das Verfahren wie bei der
> Berechnung einer Geraden und einem Punkt (auf der anderen
> Geraden) handhaben oder?
genau ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
LG
Will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:11 Do 19.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo koepper,
ok, das leuchtet ein.
Dank Dir für die ausführliche Erläuterung!
Schöne Grüße,
ardik
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Hallo n0rdi, koepper und ardik,
> Hallo ardik,
>
> > warum ist die phantasievolle Lösung nicht richtig?
> >
> > Zumindest mit der Ergänzung x,y beide ungleich 0 x [mm] \not=0 [/mm] und y [mm] \not= [/mm] 0
wenn schon: es müsste heissen: x,y nicht beide gleich 0 ! (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)
> > (oder meintest Du, dass dieser Hinweis fehlt?)
ja, die hatte ich sicher im Kopf, nur leider nicht hingeschrieben...
> > ist doch jede
> > Linearkombination der beiden speziellen Normalenvektoren
> > [mm]\vec a, \vec b[/mm] ein weiterer Normalenvektor zur Geraden.
>
> Für Geraden im [mm]\IR^3[/mm] ist der Begriff Normalenvektor im
> allgemeinen mathematischen Sprachgebrauch nicht definiert.
das ist etwa ebenso (zweifelhaft!), wie in "meinem" allgemeinen
Sprachgebrauch der Begriff "der Abstand" von zwei nicht
parallelen Ebenen im Raum kaum Sinn macht...
(vielleicht müssen wir da beide über die Bücher)
> Nur für Geraden im [mm]\IR^2[/mm] definiert man ihn. Der Grund ist
> wohl auch klar: Es gibt keine Verwendung, die einen extra
> Begriff rechtfertigen könnte für einen Vektor, der weder
> nach Länge noch nach Orientierung oder Richtung eindeutig
> bestimmt wäre.
Man könnte z.B. bei Gleichungen ähnlich verfahren:
"richtige" Gleichungen sind nur solche, die eine eindeutige
Lösung besitzen...
> Der Untervektorraum, den al Chw. hier baute, um einen
> "Normalenvektor" zu definieren, trägt bereits einen
> handlichen Namen.
> Es ist das "orthogonale Komplement" des Richtungsvektors
> im [mm]\IR^3[/mm]. Wenn du nun jedes Element dieses orthogonalen
> Komplementes als "Normalenvektor" definieren willst, steht
> dir das natürlich als Wissenschaftler frei.
> Mach es aber ggf. bitte nicht in Gegenwart von Schülern,
> weil das große Verwirrung stiften würde.
> Für einen Schüler dient ein Normalenvektor stets dazu,
> Normalenformen zu bauen.
Ich habe bloss versucht, auf die guteFrage deses interessierten
Schülers n0rdi eine angemessene Antwort zu geben. Er hat gesehen, dass
es eigentlich viele Normalenvektoren geben müsste - also habe ich gezeigt,
wie man sie sich vorstellen (sie "konstruieren") kann.
> > Dass man daraus keine Normalenform der Gerade in R3 bauen
> > kann, steht auf einem anderen Blatt...
>
> eben
>
> Gruß von Will
der andere Fehler in meinem Beitrag (Stützvektor statt
Richtungsvektor genommen) war ein unverzeihlicher Lapsus...
(wenn man ja gerade über die Rolle von Normalenvektoren
spricht) very sorry !
LG al-Chwarizmi
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