matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Schulmathe
  Status Primarstufe
  Status Mathe Klassen 5-7
  Status Mathe Klassen 8-10
  Status Oberstufenmathe
    Status Schul-Analysis
    Status Lin. Algebra/Vektor
    Status Stochastik
    Status Abivorbereitung
  Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Bundeswettb. Mathe
    Status Deutsche MO
    Status Internationale MO
    Status MO andere Länder
    Status Känguru
  Status Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenTransformationenVerständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Transformationen" - Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus
Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus < Transformationen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Transformationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:58 Fr 03.10.2014
Autor: Hing

Aufgabe
[mm] y_k=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0 [/mm]

minus

[mm] y_{k-1}=K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0 [/mm]

gleich

[mm] y_k-y_{k-1}=K_pe_k-K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}e_{k-1}T_0 [/mm]



Hallo, ich lerne gerade die Diskretisierung von Reglern und dem Stellungsalgorithmus. Es werden zwei Gleichungen mit Summen subtrahiert. Das Ergebnis mit den Summen ist für mich leider nicht nachvollziehbar.

Wenn ich mir das aufmale:
[Dateianhang nicht öffentlich]

In Zahlen sieht das für mich so aus:
[mm] \summe_{m=0}^{k-1}e_m=e_0+e_{k-1} [/mm]   und   [mm] \summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_0+e_{k-1}+e_{k-2} [/mm]

Wieso ist dann [mm] \summe_{m=0}^{k-1}e_m-\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_{k-1}? [/mm] Ich würde da [mm] e_{k-2} [/mm] erhalten: [mm] e_0+e_{k-1}-e_0-e_{k-1}-e_{k-2}=-e_{k-2} [/mm]

Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
        
Bezug
Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:36 Fr 03.10.2014
Autor: hippias

Nach dem Ergebnis zu urteilen hast Du bei der zweiten Summe den Startindex faelschlicherweise als $1$ statt $0$ gesetzt. Ich rechne im weiteren mit dem Startindex $0$.

Ich denke, man versteht es am besten anhand eines Beispiels, zu welchem Behufe ich einfach einmal $k=4$ waehle. Dann ist [mm] $\sum_{i=0}^{k-1} e_{i}= \sum_{i=0}^{3} e_{i}= e_{0}+ e_{1}+e_{2}+e_{3}$, [/mm] waehrend [mm] $\sum_{i=0}^{k-2} e_{i}= \sum_{i=0}^{2} e_{i}= e_{0}+ e_{1}+e_{2}$ [/mm] ist. Dies folgt direkt aus der Definition des Symbols [mm] $\sum$ [/mm] als Kurzschreibweise fuer Summen.

Subtrahierst Du also [mm] $\sum_{i=0}^{k-1} e_{i}- \sum_{i=0}^{k-2} e_{i}$, [/mm] so heben sich alle Glieder bis auf das mit dem hoechsten Index $3$ auf. Dies gilt entsprechend fuer beliebiges $k$, in dem Sinne, dass [mm] $e_{k-1}$ [/mm] uebrig bleibt.

Bezug
        
Bezug
Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:43 Fr 03.10.2014
Autor: Marcel

Hallo,

> [mm]y_k=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0[/mm]
>  
> minus
>  
> [mm]y_{k-1}=K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0[/mm]
>  
> gleich
>  
> [mm]y_k-y_{k-1}=K_pe_k-K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}e_{k-1}T_0[/mm]
>  
>
> Hallo, ich lerne gerade die Diskretisierung von Reglern und
> dem Stellungsalgorithmus. Es werden zwei Gleichungen mit
> Summen subtrahiert. Das Ergebnis mit den Summen ist für
> mich leider nicht nachvollziehbar.
>  
> Wenn ich mir das aufmale:
>  [Dateianhang nicht öffentlich]
>  
> In Zahlen sieht das für mich so aus:
>  [mm]\summe_{m=0}^{k-1}e_m=e_0+e_{k-1}[/mm]   und  
> [mm]\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_0+e_{k-1}+e_{k-2}[/mm]
>  
> Wieso ist dann
> [mm]\summe_{m=0}^{k-1}e_m-\summe_{m=0}^{k-2}e_m=e_{k-1}?[/mm] Ich
> würde da [mm]e_{k-2}[/mm] erhalten:
> [mm]e_0+e_{k-1}-e_0-e_{k-1}-e_{k-2}=-e_{k-2}[/mm]  

was rechnest Du denn da?

    [mm] ($\*$) $\sum_{m=0}^{k-1}e_m-\sum_{m=0}^{k-2}e_m=(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2}+e_{k-1})-(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})$ [/mm]

    [mm] $=e_{k-1}+(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})-(e_0+e_1+...+e_{k-3}+e_{k-2})=e_{k-1}\,.$ [/mm]

Ansonsten: das, was hippias gesagt hat, schreibe ich Dir gerne auch mal
formal hin, verbraten in obigen Formeln:

    [mm] $y_k-y_{k-1}=K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0-\left(K_pe_{k-1}+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=\red{0}}^{k-2}e_mT_0\right)$ [/mm]

    [mm] $=K_pe_k-K_pe_k+\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0\;\;-\;\;\bruch{K_p}{T_n}\summe_{m=1}^{k-2}e_mT_0$ [/mm]

    [mm] $=\bruch{K_p}{T_n}*\left(\left\{\summe_{m=0}^{k-1}e_mT_0\right\}-\summe_{m=0}^{k-2}e_mT_0\right)$ [/mm]

    [mm] $=\bruch{K_p}{T_n}*\left(\left\{\left(\blue{\summe_{m=0}^{\red{k-2}}e_mT_0}\right)\,+\,e_{k-1}T_0\right\}-\blue{\summe_{m=0}^{k-2}e_mT_0}\right)$ [/mm]

Das einzige, was ich da benutzt habe, ist (beachte $k-2=(k-1)-1$)

    [mm] $\sum_{m=0}^{k-1} a_m=\left(\sum_{m=0}^{(k-1)-1}a_m\right)+a_{k-1}$ [/mm]
(Damit kann man [mm] ($\*$) [/mm] schnell folgern, ohne die ...-Notation zu gebrauchen:

    [mm] $\sum_{m=0}^{k-1}e_m-\sum_{m=0}^{k-2}e_m=\left\{\red{\sum_{m=0}^{k-2}e_m}\right\}+e_{k-1}\,\red{-\sum_{m=0}^{k-2}e_m}=e_{k-1}$.) [/mm]

Gruß,
  Marcel

Bezug
        
Bezug
Verständnisfrage Folgen/Stellungsalgorithmus: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:08 Fr 03.10.2014
Autor: Hing

Vielen Dank für eure schönen Erklärungen, insbesondere die schöne Rechnung.

Jetzt habe ich mein Problem verstanden: Ich hatte die Indexe von der falschen Seite angegangen.

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Transformationen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.schulmatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]