Verständnis / Fubini < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:43 Di 04.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
| Aufgabe | Sei f definiert als
[mm] f(x,y) = \bruch{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2 } [/mm]
für [mm] x, y \in (0,1) [/mm] .
Berechnen Sie die Integrale
[mm] \integral_0^1 \integral_0^1 f(x,y) dxdy [/mm] und [mm] \integral_0^1 \integral_0^1 f(x,y) dydx [/mm].
Diskutieren Sie warum die Ergebnisse nicht im Widerspruch zu Fubini stehen. |
Guten Abend alle zusammen!
Ich habe diese Aufgabe durchgerechnet und habe herausgefunden, dass
[mm] \integral_0^1 ( \integral_0^1 \bruch{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2 } dx ) dy = - \bruch{ \pi }{4} \ne \bruch{ \pi }{4 } = \integral_0^1 ( \integral_0^1 \bruch{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2 }dy ) dx [/mm]
als Ergebnis entsteht.
So, also ist hier defenitiv nicht egal in welche Reihenfolge man integriert...
Jetzt ist die Frage warum das hier der Fall ist? Es ist denke ich mal klar, dass hier die Voraussetzungen vom Satz von Fubini nicht erfüllt sind, also die Funktion nicht integrabel ist. Ist das soweit richtig?
Aber warum ist denn f hier nicht integrabel?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:26 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Blech |
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> Aber warum ist denn f hier nicht integrabel?
Hast Du mal probiert, über |f| zu integrieren?
Im ersten Integral wäre das über die Grenzen:
$ [mm] \integral_0^1 \left( \integral_0^1 \left| \bruch{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2 }\right| \ dx \right)\ [/mm] dy = [mm] \integral_0^1 \left( \integral_0^y \bruch{y^2 -x^2}{(x^2 + y^2)^2 }\ dx +\integral_y^1 \bruch{x^2 - y^2 }{(x^2 + y^2)^2 }\ dx \right)\ [/mm] dy$
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:55 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Ich habe noch nicht probiert über [mm] \| f \| [/mm] zu integrieren... Ich weiß, dass die Funktion nicht Lebesque - integriebar ist, wenn der Betrag der Funktion nicht integrierbar ist... Was ich da nicht verstehe ist, warum die Grenzen des inneren Integral jetzt so verändert sind ?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Blech |
> Hallo!
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> Ich habe noch nicht probiert über [mm]\| f \|[/mm] zu integrieren...
> Ich weiß, dass die Funktion nicht Lebesque - integriebar
> ist, wenn der Betrag der Funktion nicht integrierbar ist...
> Was ich da nicht verstehe ist, warum die Grenzen des
> inneren Integral jetzt so verändert sind ?
Die Idee war, den Betrag aufzulösen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:43 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Ich habe den Rat befolgt und habe dieses Integral versucht auszurechnen... Ich kommme am Ende auf eine Stammfunktion
[mm] ... = \left[ ln(y)+ arctan(y) \right]_0^1 [/mm]
Dies geht aber nicht, da ich in den ln(y) Null nicht einsetzen darf... Was habe ich falsch gemacht?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Ich habe den Rat befolgt und habe dieses Integral versucht
> auszurechnen... Ich kommme am Ende auf eine Stammfunktion
>
> [mm]... = \left[ ln(y)+ arctan(y) \right]_0^1[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dies geht aber nicht, da ich in den ln(y) Null nicht
> einsetzen darf... Was habe ich falsch gemacht?
Du hast gerade nachgewiesen, dass [mm]|f|[/mm] nicht Lebesgue-integrierbar ist, weil [mm]\integral_0^1|f| d(x,y) = +\infty[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Das ist mir noch nicht so richtig einleuchtend, leider... Ich habe duch die Stammfunktion doch gezeigt, dass ich das garnicht richtig integrieren kann, denn durch ln(y) an der Stelle Null...
Warum habe ich damit gezeigt, dass das Interal über den Betrag Unendlich ist?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Das ist mir noch nicht so richtig einleuchtend, leider...
> Ich habe duch die Stammfunktion doch gezeigt, dass ich das
> garnicht richtig integrieren kann, denn durch ln(y) an der
> Stelle Null...
Da sind wir uns doch einig, dass das Integral nicht existiert. Das ist die entscheidende Aussage; deswegen gelten die Voraussetzungen des Satzes von Fubini nicht.
> Warum habe ich damit gezeigt, dass das Interal über den
> Betrag Unendlich ist?
[mm] \ln 0 [/mm] ist nicht definiert, man kann aber den Grenzwert von [mm]\ln y[/mm] für [mm]y\rightarrow 0[/mm] anschauen.
Du kannst das uneigentliche Integral als Grenzwert auffassen:
[mm] \lim_{a\rightarrow 0} \integral_a^1 \integral_0^1 |f| dx dy = \lim_{a\rightarrow 0}(-\ln a -\arctan 1 + \arctan a ) = +\infty[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:46 Do 06.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Ich wollte mich nur nochmal bedanke für die Mühe! Ich habe diese Aufgabe endlich verstanden  .
Viele Grüße
Irmchen
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Könnte damit zusammenhängen, dass beide Integrale bei 0 beginnen und man damit über 'ne Polstelle integriert...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Leider versteh ich das nicht wirklich... Ich bekomme doch konkrete Ergebnisse heraus , und nicht sowas wie Unendlich...
Könnte man mir das nochmal genauer erklren, bitte..
Vielen Dank schonmal!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:09 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Leider versteh ich das nicht wirklich... Ich bekomme doch
> konkrete Ergebnisse heraus , und nicht sowas wie
> Unendlich...
Aber ist denn die Funktion überhaupt messbar? Im Punkt (0,0) ist sie schonmal nicht stetig. Vergleiche die Grenzwerte
[mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,0)[/mm], [mm]\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y)[/mm], [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,x)[/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:49 Mi 05.12.2007 | | Autor: | Irmchen |
Hallo !
>
> Aber ist denn die Funktion überhaupt messbar? Im Punkt
> (0,0) ist sie schonmal nicht stetig. Vergleiche die
> Grenzwerte
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,0)[/mm], [mm]\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y)[/mm],
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,x)[/mm]
Also, soweit ich das sehe ist
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} f(x,0) = \infty [/mm]
[mm] \lim_{y\rightarrow 0} f(0,y) = - \infty [/mm]
[mm] \lim_{x\rightarrow 0} f(x,x) = 0 [/mm]
Leider sehe ich nicht auf was das hinausläuft :-( ....
Wenn die Funktion in (0,0 ) nicht stetig ist, dann kann die da auch nicht messbar sein und dort somit auch nicht integrierbar... Richtig?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:39 Mi 05.12.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Irmchen!
> Hallo !
>
> >
> > Aber ist denn die Funktion überhaupt messbar? Im Punkt
> > (0,0) ist sie schonmal nicht stetig. Vergleiche die
> > Grenzwerte
> >
> > [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,0)[/mm], [mm]\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y)[/mm],
> > [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,x)[/mm]
>
>
> Also, soweit ich das sehe ist
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,0) = \infty[/mm]
>
> [mm]\lim_{y\rightarrow 0} f(0,y) = - \infty[/mm]
>
> [mm]\lim_{x\rightarrow 0} f(x,x) = 0[/mm]
>
> Leider sehe ich nicht auf was das hinausläuft :-( ....
> Wenn die Funktion in (0,0 ) nicht stetig ist, dann kann die
> da auch nicht messbar sein und dort somit auch nicht
> integrierbar... Richtig?
Eine Funktion muss nicht stetig sein, um messbar zu sein; eine Sprungstelle ist durchaus erlaubt.
Worauf ich hinauswill: f ist in der Umgebung des Nullpunkts unbeschränkt und oszilliert. Deswegen ist es ihr nicht auf den ersten Blick anzusehen, ob sie messbar ist.
Wenn du die Funktion in Polarkoordinaten [mm](r\cos\varphi,r\sin\varphi)[/mm] darstellst, ist
[mm] f = \bruch{\cos^2\varphi - \sin^2\varphi}{r^2} = \bruch{2\cos(2\varphi)}{r^2} [/mm].
Wenn du entlang eines kleinen Kreises vom Radius [mm]\epsilon[/mm] um (0,0) herumläufst, schwankt f zweimal zwischen [mm]-\bruch{1}{\varepsilon^2} [/mm] und [mm]+\bruch{1}{\varepsilon^2} [/mm].
Es ist mir im Moment nicht klar, ob sie wirklich messbar ist. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Der Nachweis, dass [mm]f[/mm] nicht integrierbar ist, ist deutlich einfacher. Betrachte am besten [mm]f^+[/mm], die 0 für [mm]y\ge x[/mm] ist und rechne nach, dass das Integral unendlich ist.
Viele Grüße
Rainer
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