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| Aufgabe | Sei [mm] \gamma : \IR \to \IR^3 [/mm] eine differenzierbare Ableitung mit
[mm] \gamma (0) = (-1,2,1) , \gamma' (0) = (4,2,-7). [/mm]
Sei [mm] f : \IR^3 \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] f(x,y,z) = z \wurzel {x^2+y^2}. [/mm]
Berechnen Sie die Ableitung [mm] (f \circ \gamma)'(0). [/mm]
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Folgende Formel hab ich dafür verwendet:
[mm] D(f \circ \gamma) = D f(b) \circ D \gamma (a) [/mm]
wobei [mm] b= f (a) [/mm] .
a ist in meinem Fall ja 0.
Da ich [mm] \gamma [/mm] selbst ja nicht habe , aber [mm] \gamma (0) [/mm] und [mm]D\gamma(0) [/mm] kann ich die gegeben Werte oben einsetzen:
[mm]D( f \circ \gamma) (0) = D f \vektor {-1 \\ 2 \\ 1} \circ \vektor {4\\2\\-7} [/mm]
Nur was fange ich jetzt damit an?
Ich habe die Fragein keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo!
> $ D( f [mm] \circ \gamma) [/mm] (0) = D f [mm] \vektor [/mm] {-1 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 1} [mm] \circ \vektor {4\\2\\-7} [/mm] $
Vorsicht, rechts steht nicht mehr die Verknüpfung!
$ D( f [mm] \circ \gamma) [/mm] (0) = D f [mm] \vektor [/mm] {-1 [mm] \\ [/mm] 2 [mm] \\ [/mm] 1} * [mm] \vektor {4\\2\\-7} [/mm] $
Nun, du kannst doch die Ableitung von f berechnen. Die Formel kannst du doch nach x, y und z ableiten! Anschließend setzt du die Werte von [mm] \gamma(0) [/mm] ein, und das wars. Das ganze noch mit [mm] \gamma' [/mm] multiplizieren, und du bist fertig.
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Das erklärt wieso ich das ganze nicht verstanden hab...
Scheint ein Fehler in meinem Skript zu sein, da da noch eindeutig eine VErknüpfung ist.
Mit der Multiplikation ist das jedoch echt machbar^^
Ich hab jetzt die Funktion erst nach z, dann nach x und zuletzt nach y "abgelitten"  was ich ja darf, da (hoffe ich) gilt: [mm] \partial_1 \partial_2 \partial_3 f (x,y,z) = \partial_3 \partial_2 \partial_1 f(x,y,z) [/mm]
Dabei ist das z weggefallen. Steht dann letztendlich eine 0 da?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 So 30.09.2007 | | Autor: | dormant |
Hi!
> Scheint ein Fehler in meinem Skript zu sein, da da noch
> eindeutig eine VErknüpfung ist.
Ich würde vorschlagen die verallgemeinerte Kettenregel folgendermaßen aufzuschreiben:
[mm] v:\IR^{k}\rightarrow\IR^{m} [/mm] und [mm] u:\IR^{m}\rightarrow\IR^{n}. [/mm] Dann gilt:
[mm](u\circ v)'(x)=u'(v(x))*v'(x)[/mm].
In deinem Fall bedeutet das:
[mm](f\circ \gamma)'(0)=f'(\gamma(0))*\gamma'(0)=f'\vektor{-1 \\ 2 \\ 1}*(4; 2; -7)^{t}[/mm].
> Ich hab jetzt die Funktion erst nach z, dann nach x und
> zuletzt nach y "abgelitten" was ich ja darf, da (hoffe
> ich) gilt: [mm]\partial_1 \partial_2 \partial_3 f (x,y,z) = \partial_3 \partial_2 \partial_1 f(x,y,z)[/mm]
Das gilt schon, aber unter Ableitung ist in diesem Fall natürlich der Gradient gemeint. D.h. du brauchst keine gemischten Ableitungen, sondern den Vektor aus den ersten partiellen Ableitungen ausgewertet an der Stelle (-1 2 1).
> Dabei ist das z weggefallen. Steht dann letztendlich eine 0
> da?
Nein, das z fällt nicht weg und es steht was anderes da.
Gruß,
dormant
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Meinst du mit dem Gradienten, dass ich die Funktion nach x Ableite, x einsetze und ich hab den ersten wert. Dann die ursprüngliche Funktion nach y ableiten und dann einsetzen und das ganze nochmal mit z?
Ok, dann hab ich es verstanden :-D
Denn dann muss ich ja nur nochmal mit dem anderen Vektor plutimizieren und hab meine Verknüpfung raus 
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:52 So 30.09.2007 | | Autor: | Blech |
Der Gradient ist:
[mm]\operatorname{grad} f=\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{e}_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{e}_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec{e}_z = \begin{pmatrix} \partial f / \partial x \\ \partial f / \partial y \\ \partial f / \partial z \end{pmatrix}[/mm]
Für n-dimensionales läuft es analog
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