Verknüpfung Konvex/Konkav < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Gegeben sind die beiden konvexen Funktionen [mm] $f_1\, [/mm] : [mm] \; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ [/mm] und [mm] $f_2\, [/mm] : [mm] \; \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$.
[/mm]
Entscheiden Sie, ob die folgenden Verknüpfungen der Funktionen wieder konvex sind.
[mm] $f_1 [/mm] + [mm] f_2 \qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_1 \cdot f_2 \qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $\frac{f_1}{f_2} \qquad\qquad\qquad\qquad$ [/mm] ist
[mm] $f_1 \circ f_2 \qquad$ [/mm] ist
a)konvex
b)konkav
c)nichts |
Hallo.
Ich soll die beschriebene Aufgabe lösen und hab nicht viele Ideen, wie ich da rangehen soll.
Um zu beweisen, dass die Möglichkeiten nicht konkav oder konvex sind, würde ja ein Gegenbeispiel reichen.
Wie soll ich aber beweisen, dass sie es sind.
Meine einzige Idee bisher ist, dass [mm] f_{1}\circf_{2} [/mm] konvex ist.
Unter Annahme das [mm] f_{1} [/mm] konvex ist, gilt [mm] f_{1}\circf_{2}=f_{1}(f_{2})
[/mm]
Damit gilt [mm] f_{1}(z). [/mm] Da [mm] f_{1} [/mm] konvex ist, ist es egal welche Variable man betrachtet. Die Funktion bleib konvex.
Wäre das plausibel?
Könntet ihr mir Tips (bitte keine Lösungen!) für die anderen Beispiele geben.
Viele Grüße und danke im Voraus.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:23 Di 18.01.2011 | | Autor: | Masseltof |
Hallo.
Lösung dieser Aufgabe ist, dass a) konvex ist.
Der Rest ist nicht konvex.
Als Gegenbeispiel soll [mm] x^2*e^-x [/mm] irren, bzw. [mm] \bruch{x^2}{e^{-x}}.
[/mm]
Ferner ist auch d nicht konvex, da bspw. [mm] x^2 [/mm] und [mm] e^{-x} [/mm] so verkettet werden, dass eben keine konvexe Funktion mehr vorliegt.
d) wundert mich da, da ich gerade nich sehe wie aus [mm] f_{2}(f_{1}) [/mm] eine nicht konvexe Funktion entstehen soll.
Immerhin ist [mm] f_{1}=y [/mm] und somit unabhängige Variable von [mm] f_{1}, [/mm] was wiederum konvex ist.
Viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:22 Mi 19.01.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
