Verknüpfung < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:42 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
| Aufgabe | Es seien f,g: [mm] \IR^2\to\IR^2 [/mm] definiert durch [mm] f(\vektor{x \\ y}):=\bruch{1}{2}(\vektor{2x-y \\ y}) [/mm] und [mm] g(\vektor{x \\ y}):= \vektor{y \\ -x+2y}+\wurzel{3}\vektor{x \\ 2x+y}.
[/mm]
Berechnen Sie [mm] f\circ [/mm] g ohne Matrixmuliplikation. |
Hallo alle zusammen,
ich weiß zwar wie die Verknüpfung geht, nur komm irgendwie nicht so wirklich klar, wie man die Funktionen zusammenfassen sollte.
[mm] (f\circ g)(\vektor{x \\ y}):= f(g(\vektor{x \\ y}))= f(\vektor{y \\ -x+2y} +\wurzel{3}\vektor{x \\ 2x+y})= f(\vektor{y+\wurzel{3}x \\ -x+2y+\wurzel{3}(2x+y)}
[/mm]
soweit habe ich gerechnet, nur weiß leider nicht mehr weiter. Bin für jeden Tipp dankbar.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:51 Mi 13.11.2013 | | Autor: | chrisno |
> Es seien f,g: [mm]\IR^2\to\IR^2[/mm] definiert durch [mm]f(\vektor{x \\ y}):=\bruch{1}{2}(\vektor{2x-y \\ y})[/mm]
> und [mm]g(\vektor{x \\ y}):= \vektor{y \\ -x+2y}+\wurzel{3}\vektor{x \\ 2x+y}.[/mm]
>
> Berechnen Sie [mm]f\circ[/mm] g ohne Matrixmuliplikation.
> Hallo alle zusammen,
> ich weiß zwar wie die Verknüpfung geht, nur komm
> irgendwie nicht so wirklich klar, wie man die Funktionen
> zusammenfassen sollte.
> [mm](f\circ g)(\vektor{x \\ y}):= f(g(\vektor{x \\ y}))= f(\vektor{y \\ -x+2y} +\wurzel{3}\vektor{x \\ 2x+y})= f(\vektor{y+\wurzel{3}x \\ -x+2y+\wurzel{3}(2x+y)}[/mm]
>
Nun geht es einfach weiter. Nur musst Du mit den x und y nicht durcheinander kommen. Also gibt es neue Namen: [mm] $f(\vektor{x_{b} \\ y_{b}}):=\bruch{1}{2}(\vektor{2x_{b}-y_{b} \\ y_{b}})$
[/mm]
Nun hast Du [mm] $x_{b} [/mm] = [mm] y+\wurzel{3}x [/mm] $ und [mm] $y_{b} [/mm] = [mm] -x+2y+\wurzel{3}(2x+y)$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:20 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
bin jetzt auf trotzdem noch langen Ergebnis gekommen [mm] f(\vektor{ x_{b}\\ x_{b}})=\vektor{\wurzel{3}+0,5x-x\wurzel{3}-0,5y\wurzel{3}\\ -0,5+y+x\wurzel{3}+0,5y\wurzel{3}}
[/mm]
Es wäre bestimmt nicht ok, wenn ich so stehen lasse?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo Gina,
> bin jetzt auf trotzdem noch langen Ergebnis gekommen
> [mm]f(\vektor{ x_{b}\\ x_{b}})=\vektor{\wurzel{3}+0,5x-x\wurzel{3}-0,5y\wurzel{3}\\ -0,5+y+x\wurzel{3}+0,5y\wurzel{3}}[/mm]
>
> Es wäre bestimmt nicht ok, wenn ich so stehen lasse?
ich hab' das nicht nachgerechnet, aber das wäre doch, wenn das so stimmt,
nach wie vor nicht zu Ende gerechnet, weil Du [mm] $f\,$ [/mm] nicht mehr anwendest.
Machen wir mal ein ganz einfaches Beispiel:
Sei
[mm] $g(\vektor{x\\y})=2*\vektor{x\\y}$
[/mm]
und
[mm] $f(\vektor{x\\y})=3*\vektor{x\\y}\,.$
[/mm]
Was ist dann
$(f [mm] \circ g)(\vektor{x\\y})=f(g(\vektor{x\\y}))$?
[/mm]
Nun:
[mm] $g(\vektor{x\\y})=\vektor{2x\\2y}$
[/mm]
Definieren wir mal
[mm] $\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}}:=\vektor{2x\\2y}=g(\vektor{x\\y})\,,$
[/mm]
also
[mm] $\tilde{x}:=2x\,$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}:=2y\,.$
[/mm]
Dann ist
[mm] $f(g(\vektor{x\\y}))=f(\vektor{2x\\2y})\,.$
[/mm]
Oben hörst Du quasi an solch' einer Stelle auf - aber das machst Du halt
eben nicht:
Wenn Du doch
[mm] $f(\vektor{\tilde{\tilde{x}}\\\tilde{\tilde{y}}})=3*\vektor{\tilde{\tilde{x}}\\\tilde{\tilde{y}}}=\vektor{3\tilde{\tilde{x}}\\3\tilde{\tilde{y}}}$
[/mm]
für alle [mm] $\vektor{\tilde{\tilde{x}}\\\tilde{\tilde{y}}} \in \IR^2$ [/mm] hast, dann gilt das auch für speziell [mm] $\vektor{\tilde{\tilde{x}}\\\tilde{\tilde{y}}}:=g(\vektor{x\\y})=\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}}\,,$
[/mm]
also
[mm] $f(g(\vektor{x\\y}))=f(\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}})=3*\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}}=\vektor{3\tilde{x}\\3\tilde{y}}\,.$
[/mm]
Jetzt musst Du nur noch [mm] $\tilde{x}=2x$ [/mm] und [mm] $\tilde{y}=2y$ [/mm] einsetzen:
[mm] $f(g(\vektor{x\\y}))=f(\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}})=3*\vektor{\tilde{x}\\\tilde{y}}=\vektor{3\tilde{x}\\3\tilde{y}}=\vektor{3*(2x)\\3*(2y)}=\vektor{6x\\6y}=6\vektor{x\\y}\,.$
[/mm]
P.S. Berechne mir mal $(u [mm] \circ v)((x,y)^T)$ [/mm] (ich schreibe [mm] $(x,y)^T=\vektor{x\\y}$),
[/mm]
wenn
[mm] $u((x,y)^T)=(4x,5y)^T$
[/mm]
und
[mm] $v((x,y)^T)=(\sin(x),3\tan(y))^T$
[/mm]
ist.
Würde mit gleicher Funktion [mm] $u\,$ [/mm] hier $u [mm] \circ [/mm] v$ Sinn machen, wenn ich [mm] $v(x)=e^x$ [/mm] betrachte?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:46 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
In dem Beispiel mit x schlange, y schlange und y doppelschlange ist ja nur Skalar von beiden Vektoren, dass man leicht multiplizieren kann, wie x als auch y.
In dem Beispiel unten, komme ich leider nicht mit, da x mal 4 und y mal 5 steht und da scheitert es schon.
Habe dann [mm] x_{1}:=Sin(x) [/mm] und [mm] y_{1}:=3 [/mm] tan(x) definiert und das muss ich einsetzten in u Funktion...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:11 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> In dem Beispiel mit x schlange, y schlange und y
> doppelschlange ist ja nur Skalar von beiden Vektoren, dass
> man leicht multiplizieren kann, wie x als auch y.
> In dem Beispiel unten, komme ich leider nicht mit, da x mal
> 4 und y mal 5 steht und da scheitert es schon.
> Habe dann [mm]x_{1}:=Sin(x)[/mm] und [mm]y_{1}:=3[/mm] tan(x) definiert und
> das muss ich einsetzten in u Funktion...
da steckt nicht mehr dahinter als bei den anderen Aufgaben!
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:56 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
wäre dann [mm] u\circv= u(v(\vektor{x \\ y}))=u( \vektor{Sinx \\ 3tany}=\vektor{4Sinx \\ 15tany}) [/mm] so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:36 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> wäre dann [mm]u\circv= u(v(\vektor{x \\ y}))=u( \vektor{Sinx \\ 3tany}=\vektor{4Sinx \\ 15tany})[/mm]
> so richtig?
es war
$ [mm] u((x,y)^T)=(4x,5y)^T [/mm] $
und
$ [mm] v((x,y)^T)=(\sin(x),3\tan(y))^T [/mm] $
Und damit:
Dein Ergebnis stimmt.
Übrigens erkläre ich es Dir jetzt doch noch einmal anders:
Du hast hier
[mm] $u((x,y)^T)=(4x,5y)^T\,.$
[/mm]
Das heißt:
[mm] $u((\text{1. Koordinate}, \text{2. Koordinate})^T)=(4* \text{(1. Koordinate}), 5*\text{(2. Koordinate)})^T$
[/mm]
Wenn wir
[mm] $v((x,y)^T)=(\sin(x), [/mm] 3 [mm] \tan(y))^T$
[/mm]
haben, was ist dann bei [mm] $u\,$
[/mm]
- Für die erste Koordinate einzusetzen?
- Für die zweite Koordinate einzusetzen?
wenn wir gerne wissen wollen, wie [mm] $u(v((x,y)^T))$ [/mm] aussieht?
(Du musst hier nur aufpassen: Der Zielbereich von [mm] $v\,$ [/mm] muss Teilmenge des
Definitionsbereichs von [mm] $u\,$ [/mm] sein (eigentlich reicht es, wenn man nur vom
Wertebereich anstatt Zielbereich spricht!) - d.h. etwa:
"Wenn [mm] $u\,$ [/mm] für Vektoren mit 2 Koordinaten definiert ist, dann sollte der
Zielbereich von [mm] $v\,$ [/mm] auch nur Vektoren mit 2 Koordinaten (und nicht etwa
mehr als 2 Koordinaten) enthalten! (Das weniger gar nicht funktioniert, das
"sieht man"!)"
Man könnte ja auch auf die Idee kommen:
Wenn bspw. [mm] $u((x,y)^T)=(xy,x+y)^T$ [/mm] definiert ist, dann soll wohl [mm] $u((x,y,z)^T)=u((x,y)^T)$ [/mm] sein...
Aber [mm] $u((x,y,z)^T)$ [/mm] ist hier gar nicht definiert...)
Ist Dir jetzt so ungefähr klar, wie das abläuft?
Testen wir es doch nochmal:
Sei
[mm] $u((x,y)^T):=(x,x*y,x+y)^T$ [/mm]
eine Funktion [mm] $\IR^2 \to \IR^3\,.$
[/mm]
Sei
[mm] $v(r):=(r,3r)^T$
[/mm]
eine Funktion [mm] $\IR \to \IR^2\,.$
[/mm]
Wie sieht die Funktion
$u [mm] \circ [/mm] v [mm] \colon \IR \to \IR^3$
[/mm]
aus?
Gruß,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:49 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Es geht ja gar nicht, da es u nur mit 2 Koordinaten ausgestattet ist und Zielbereich mit 3. Hoffe habe mich richtig ausgedrückt. Wenn ich dein Text lese, dann versehe ich, aber selbs zu formulieren ist es doch nicht so einfach.
Vielen Dank für die Mühe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:20 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Es geht ja gar nicht, da es u nur mit 2 Koordinaten
> ausgestattet ist und Zielbereich mit 3.
doch, hier:
> $ [mm] u((\blue{x},\red{y})^T):=(\blue{x},\blue{x}\cdot{}\red{y},\blue{x}+\red{y})^T [/mm] $
> eine Funktion $ [mm] \IR^2 \to \IR^3\,. [/mm] $
> Sei
> $ [mm] v(r):=(r,3r)^T [/mm] $
> eine Funktion $ [mm] \IR \to \IR^2\,. [/mm] $
> Wie sieht die Funktion
> $ u [mm] \circ [/mm] v [mm] \colon \IR \to \IR^3 [/mm] $
kannst Du $u [mm] \circ [/mm] v$ angeben. Ich mach's mal vor:
[mm] $u(v(r))=u(\vektor{\blue{r}\\\red{3r}})=\vektor{\blue{r}\\\blue{r}*\red{3r}\\\blue{r}+\red{3r}}=\vektor{r\\3r^2\\4r}$
[/mm]
Klarer?
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:27 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Danke schön Marcel, so ist ja ganz einfach, besonders mit Farben hervorheben. Komme nur manchmal durcheinander mit so vielen Variablen oder hatte heute schon zu viel Mathe gehabt(
Schöne Grüße
Gina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:32 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Danke schön Marcel, so ist ja ganz einfach, besonders mit
> Farben hervorheben.
ich habe echt die merkwürdige Erfahrung gemacht, dass das, wenn man
Frauen Nachhilfe gibt, echt das wirksamste Mittel zu sein scheint. Bei
Männern klappt eher das "Definieren von Hilfsvariablen" oder das, was
ich mit den Koordinaten gemacht habe. (Falls es hier Psychologen gibt:
Das ist sicher ein interessantes Untersuchungsgebiet, sofern das noch
nicht gänzlich erforscht ist... Ob's daran liegt, dass Farben eine gewisse
Stimmung erzeugen und Männer aber meist lieber "die Sachen nüchtern
betrachten" oder was auch immer...)
> Komme nur manchmal durcheinander mit so
> vielen Variablen oder hatte heute schon zu viel Mathe
> gehabt
Beides kann passieren. Das ist aber auch so etwas, wo ich sage: Hier ist
es nicht wirklich schlimm, wenn man es anfangs nicht ganz versteht. Aber
nach ein paar Übungen sollte man's dann so nach und nach kapieren (und
bestenfalls kommt man irgendwann zu einem Punkt, wo man sich fragt,
wieso man das anfangs eigentlich nicht verstanden hatte...).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:41 Do 14.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Jetzt kommt noch Psychologie dazu, auch mal ganz interessant)))) vor allem Männer mit Frauen zu vergleichen... wie schwarz und weiß. Naja, bin immerhin sehr dankbar und da es hier nur weniger Frauen gibt, die dabei helfen. Ob es schneller gehen würde, wenn Frau von Frau erklärt würde?
Klar nach mehreren Übungen wird es schon automatisch gehen, nur wie immer fällt einem die Zeit für, und das noch während des Semesters.
Schöne Grüße
Gina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:51 Do 14.11.2013 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Jetzt kommt noch Psychologie dazu, auch mal ganz
> interessant)))) vor allem Männer mit Frauen zu
> vergleichen... wie schwarz und weiß.
naja, das sind einfach so meine Erfahrungen. Das wäre aber sicher mal
ein interessantes Untersuchungsfeld, ob meine Eindrücke dahingehend
stimmen und wie sich das erklären läßt, falls dem so ist.
> Naja, bin immerhin sehr dankbar und da es hier nur weniger Frauen
> gibt, die dabei helfen. Ob es schneller gehen würde, wenn Frau von
> Frau erklärt würde?
Nur, wenn sie auch Buntstifte hat.  Ne, Scherz beiseite: Das weiß ich nicht.
Das musst Du selbst testen.
> Klar nach mehreren Übungen wird es schon automatisch
> gehen, nur wie immer fällt einem die Zeit für, und das
> noch während des Semesters.
Na, wird schon werden.
Schöne Grüße zurück,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:48 Di 19.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Ich bin froh und dankbar, dass mir hier erklärt wird, alles andere ist so zu sagen "uninteressant".
Gina
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Hallo...
Also du hast doch bisher einfach nur g angewendet und bekamst deine momentane Lösung. Für f hast du doch auch schon eine Darstellung gegeben, wie mit den Parametern x und y umzugehen ist. Ersetze in der Darstellung von f doch einfach mal x durch z und y durch w.
[mm] f(\vektor{x \\ y}):=f(\vektor{z \\ w}):=\bruch{1}{2}(\vektor{2z-w \\ w})
[/mm]
Nachdem du g angewendet hast, ist doch [mm] z=y+\wurzel{3}x [/mm] und w [mm] =-x+2y+\wurzel{3}(2x+y).
[/mm]
Hilft dir das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:03 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Danke schon mal, sollte eigentlich ganz einfach gehen, bin aber doch noch bisschen mit den Variablen durcheinander, soll ich z und w oder [mm] x_{b} [/mm] und [mm] y_{b} [/mm] in die f Funktion einsetzen.. da habe ich aber keine z und w. Stehe auf dem Schlauch....
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:10 Mi 13.11.2013 | | Autor: | Gina2013 |
Sollte dann [mm] f(\vektor{x_{b} \\ y_{b}}= \bruch{1}{2}\vektor{2(y+\wurzel{3})+x-2y-\wurzel{3}2x-\wurzel{3}y\\ -x+2y+\wurzel{3}2x+\wurzel{3}y}
[/mm]
so richtig sein? muss ich nur weiter ausrechnen...
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