Verkettung u. Addition bei Fkt < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:33 Mo 21.05.2007 | | Autor: | LeMaSto |
| Aufgabe | Seien f,g,h beliebige reelle Funktionen, für die die Verkettung und die Addition defieniert sei.
Beweisen oder widerlegen sie:
a) f [mm] \circ [/mm] (g + h) = f [mm] \circ [/mm] g + f [mm] \circ [/mm] h
b) (g + h) [mm] \circ [/mm] f = g [mm] \circ [/mm] f + h [mm] \circ [/mm] f |
hallo!
wie kann ich diese aufgaben beweisen? muss man funktionen einsetzten? oder...? ich wäre wie immer um hilfe sehr dankbar?
lg lema
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Lemasto!
Suche dir doch ganz einfach Beispiele für die betreffenden Aufgaben:
z.B.: [mm] f(x)=x^2 g(x)=2x^2+1 h(x)=x^2-4
[/mm]
mit dem Einsetzen der Funktionen in die betreffende Aufgabe wirst du die Gesetze auf ihre Richtigkeit überprüfen können
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mo 21.05.2007 | | Autor: | LeMaSto |
> Lemasto!
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> Suche dir doch ganz einfach Beispiele für die betreffenden
> Aufgaben:
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> z.B.: [mm]f(x)=x^2 g(x)=2x^2+1 h(x)=x^2-4[/mm]
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> mit dem Einsetzen der Funktionen in die betreffende Aufgabe
> wirst du die Gesetze auf ihre Richtigkeit überprüfen können
ist das dann ein allgemein geltender beweis?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:24 Mo 21.05.2007 | | Autor: | felixf |
Hi LeMaSto!
> > Suche dir doch ganz einfach Beispiele für die betreffenden
> > Aufgaben:
> >
> > z.B.: [mm]f(x)=x^2[/mm] [mm]g(x)=2x^2+1[/mm] [mm]h(x)=x^2-4[/mm]
> >
> > mit dem Einsetzen der Funktionen in die betreffende Aufgabe
> > wirst du die Gesetze auf ihre Richtigkeit überprüfen können
>
> ist das dann ein allgemein geltender beweis?
Also fuer (a) schon, das gilt naemlich nicht 
Bei (b) reicht das nicht. Da musst du schon explizit beweisen, dass die beiden Ausdruecke fuer alle solche Funktionen gleich sind.
Dazu: Zwei Funktionen [mm] $f_1, f_2 [/mm] : A [mm] \to [/mm] B$ sind gleich genau dann, wenn fuer alle $x [mm] \in [/mm] A$ gilt [mm] $f_1(a) [/mm] = [mm] f_2(a)$.
[/mm]
Wenn du das zusammen mit der Definition von [mm] $\circ$ [/mm] und $f + g$ benutzt hast du schnell die Gleichheit...
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:00 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Hallo, ich habe dieselbe Augabe zu lösen und stelle mich bei der Verknüpfung und bei der Addition leider ziemlich dumm an.
Ich habe deinen Rat befolgt und mir deine Beispiele genommen um a) zu zeigen. Leider komme ich nicht weiter.
Ich habe es so versucht:
[mm] f\circ(g+h) [/mm] = [mm] f\circ(g+h)(x) [/mm] = [mm] f\circ(2x²+1+x²-4) [/mm] = [mm] f\circ(3x²-3) [/mm] = (3x²-3)²
[mm] (f\circg)(x) [/mm] = f(g(x)) = f(2x²+1) = (2x²+1)²
[mm] (f\circh)(x) [/mm] = f(h(x)) = f(x²-4) = (x²-4)²
(2x²+1)²+(x²-4) = 3x²-3. Also stimmt die Behauptung...
Ich hab bestimmt irgendwo einen blöden Fehler gemacht, oder?
Viele Grüße
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> Ich habe deinen Rat befolgt und mir deine Beispiele
> genommen um a) zu zeigen. Leider komme ich nicht weiter.
> Ich habe es so versucht:
> [mm]f\circ(g+h)[/mm] = [mm]f\circ(g+h)(x)[/mm] = [mm]f\circ(2x²+1+x²-4)[/mm] =
> [mm]f\circ(3x²-3)[/mm] = (3x²-3)²
>
> [mm](f\circg)(x)[/mm] = f(g(x)) = f(2x²+1) = (2x²+1)²
> [mm](f\circh)(x)[/mm] = f(h(x)) = f(x²-4) = (x²-4)²
> (2x²+1)²+(x²-4) = 3x²-3. Also stimmt die Behauptung...
> Ich hab bestimmt irgendwo einen blöden Fehler gemacht,
> oder?
Ja.
Rechne das hier nochmal
(2x²+1)²+(x²-4) ,
und zwar unter Beachtung des Quadrats der ersten Klammer.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
ah, okay.also ist es [mm] 2x^4+1+x²-4, [/mm] also [mm] 2x^4+x²-3.
[/mm]
stimmt, das habe ich übersehen. und da dann die beiden ergebnisse nicht übereinstimmen ist die behauptung falsch. Ist das richtig?
Ich dachte schon ich hätte einen ganz falschen Weg eingeschlagen...
Vielen Dank!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:36 Fr 25.05.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo Tvenna!
Für [mm] $(2x^2+1)^2$ [/mm] musst Du schon eine  binomische Formel anwenden (und nicht nur summandenweise quadrieren).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:13 Sa 26.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
okay, danke!also [mm] 2x^4+4x²*2+1.
[/mm]
Und dann vergleiche ich die Ergebnisse miteinander und kann sagen das sie ungleich sind und somit die Behauptung nicht gilt, ist das richtig?
Zu nummer b) habe ich auch noch Probleme mit dem umstellen/umformen.
Ich finde man sieht schon irgendwie das es stimmt, aber finde es schwer das umzuformen.ich habe versucht es nach den Definitionen umzuformen und bvin dann irgendwie bei f(g(x))+f(h(x)) = g(f(x))+h(f(x)) hängengeblieben...
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> okay, danke!also [mm]2x^4+4x²*2+1.[/mm]
Hallo,
das stimmt immer noch nicht.
Du berechnest doch (2x²+1)²+(x²-4), oder hab' ich den Faden verloren?
Himmel! Ich habe nochmal am Anfang geguckt:
es ist [mm] (2x²+1)²+(x²-4)^2, [/mm] was Du berechnen mußt, und dann mit [mm] (3x^2-3)^2 [/mm] vergleichen.
> Und dann vergleiche ich die Ergebnisse miteinander und
> kann sagen das sie ungleich sind und somit die Behauptung
> nicht gilt, ist das richtig?
Ja, wenn's denn mit richtigem Rechnen zur Ungleichheit gekommen ist.
>
> Zu nummer b) habe ich auch noch Probleme mit dem
> umstellen/umformen.
> Ich finde man sieht schon irgendwie das es stimmt, aber
> finde es schwer das umzuformen.ich habe versucht es nach
> den Definitionen umzuformen und bvin dann irgendwie bei
> f(g(x))+f(h(x)) = g(f(x))+h(f(x)) hängengeblieben...
Rechne vor, was Du getan hast.
Mir sieht es so aus, als hättest Du munter f mit g und f mit h vertauscht.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:57 So 27.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
Bei a) habe ich alle Terme umgeformt und ausgerechnet, das ist erledigt.
bei b) habe ich versucht [mm] (g+h)\circf)(x) [/mm] nochmal anders umzuformen
(vorher hatte ich irgendwie versucht auf beiden Seiten gleichzeitig umzuformen):
(g+h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) ... darf ich dann daraus folgern
g [mm] \circ [/mm] f + h [mm] \circ [/mm] f ? Nach der Definition ist doch [mm] g\circf(x) [/mm] = g/f(x))..
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> (g+h)(f(x)) = g(f(x)) + h(f(x)) ... darf ich dann daraus
> folgern
> g [mm]\circ[/mm] f + h [mm]\circ[/mm] f ? Nach der Definition ist doch
> [mm]g\circf(x)[/mm] = g/f(x))..
Hallo,
DIESE Definition kann ich jetzt nicht verstehen. Ich hoffe, Du meinst: [mm] (g\circf)(x):=g(f(x))...
[/mm]
Dann wird es nämlich richtig.
Du mußt es in etwa so aufschreiben, wie ich es Dir gleich vormachen werde. Beachte die Begründungen nach jedem Schritt, die sind wichtig.
Für alle [mm] x\in... [/mm] (Def.bereich) gilt
[mm] ((g+h)\circ [/mm] f)(x)= (g+h)(f(x)) nach Def. der Verkettung v. Funktionen
=g(f(x))+h(f(x)) nach Def. der Addition von Funktionen
[mm] =(g\circ [/mm] f)(x)+ [mm] (h\circ [/mm] f)(x) nach Def. der Verkettung
[mm] =(g\circ [/mm] f + [mm] h\circ [/mm] f)(x) nach Def. der Addition
[mm] ==>(g+h)\circ [/mm] f = [mm] g\circ [/mm] f + [mm] h\circ [/mm] f nach Def. der Gleichheit vn Funktionen
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:19 So 27.05.2007 | | Autor: | Tvenna |
ahh..alles klar, die letzten beiden Schritte waren mir nicht klar. Da hat mir noch der letzte Anstoß gefehlt.
Viele Dank!
Tvenna
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