Verkettete Funktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:03 Sa 29.01.2005 | | Autor: | freak019 |
Hallo erstmal!
Klausuraufgabe in Mathematik I war
s(x) = [mm] \wurzel{x} [/mm] mit x >= 0
q(x) = [mm] x^{2} [/mm] mit x e R
was ist dann (s o q) (x), also s verkettet mit q ??
Neben zwei, drei falschen Lösungen war ich dann am Zweifeln zwischen
Antwort: x und
Antwort |x|
Innerhalb unseres Kurses ist jetzt eine wilde Diskussion losgetreten worden... Hier geht es im Wesentlichen ja um die beiden Definitionsbereiche und wie er sich bei dern (neuen) zusammengesetzten Fuktion s(q(x)) zusammensetzt.
Wer klärt uns auf?
DAnke!
MfG
freak019
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
...und auch keine passenden Beiträge/Fragen auf anderen Internetseiten zu diesem Problem gefunden
sorry, gehört nicht in "vektorrechnung"
neulingsfehler...
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Hallo, freak,
denk' mal zunächst über folgende Beispiele nach:
x=2; [mm] x^{2} [/mm] = 4; also [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2 = x (siehe vorne!)
Nun aber ist x=-2; [mm] x^{2} [/mm] = 4; also [mm] \wurzel{x^2} [/mm] = [mm] \wurzel{4} [/mm] = 2 [mm] \not= [/mm] x
(denn x war ja -2 !!!).
Demnach ist [mm] \wurzel{x^2} [/mm] nicht einfach x, sondern |x|.
Will heißen: Die zweite Antwort ist richtig; die erste wäre es nur dann, wenn auch für q(x) x>=0 gegeben gewesen wäre!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:58 So 30.01.2005 | | Autor: | freak019 |
zunächst danke für die antwort.
die sache mit [mm] \wurzel{ x^{2}} [/mm] = |x| ist mir vollkommen klar.
was mich und vor allem unseren Mathe-Kurs beschäftigt, ist die Frage, ob das auch unter den gegebenen Voraussetzungen der Verkettung gilt ?
vor allem im Hinblick auf die Definitionsmengen.
Wir haben in unserem Skript stehen, dass der Definitionsbereich bei verketteten Fkt. die Schnittmenge beider Definitionsmengen sei.
In diesem Fall wäre das R [mm] \cap [/mm] R+ = R+
Somit wäre wieder x richtig ohne Betrag.
Somit stellen sich für mich zwei weitere Fragen:
- Ist der Definitionsbereich von s(q(x)) tatsächlich [mm] D_{s} \cap D_{q}
[/mm]
- Richtet man sich bei der Definitionsmenge von s(q(x)) nach dem Definitionsbereich der inneren Fkt. - dann hättest du Recht, weil dieser ganz R ist - oder gilt eben ein neuer "zusammengesetzter" Definitionsbereich
*verwirrt bin*
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 So 30.01.2005 | | Autor: | freak019 |
naja, ich weiß jetzt auf jeden fall wie sich der definitionsbereich zusammensetzt. danke dafür..
ich bin aber der meinung, dass es hier nur eine lösung geben kann, darum
versteh ich nicht, warum wir beide recht haben sollten.
mein konkretes problem: eine klausuraufgabe am freitag war wie oben gestellt, mit den ankreuzmöglichkeiten
O [mm] \wurzel{x}
[/mm]
O x
O |x|
O [mm] x^{2}
[/mm]
möglichkeit 1 und 4 scheiden aus, klar. aber was nun genau mit x und |x|.
beides richtig?
was hättet ihr angekreuzt?
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Hallo, ich bin's nochmal!
Zunächst: Es bleibt dabei, dass nur die Antwort |x| richtig ist.
Wieso?
Wenn man zwei Funktionen durch Addition, Subtraktion, etc. verknüpft, gilt tatsächlich, dass die "neue Definitionsmenge" die Schnittmenge der beiden ursprünglichen Definitionsmengen ist.
Dies gilt aber nicht bei der Verkettung!! .
Siehe Formelsammlung: Für die Verkettung muss lediglich die WERTEMENGE der "eingesetzten Funktion" (in unserem Fall q) Teilmenge (oder gleich) der Definitionsmenge der Funktion sein, in die eingesetzt wird (in unserem Fall s). Dann gilt für die Definitionsmenge der verketteten Funktion (hier: h(x)=s(q(x)): [mm] D_{h} [/mm] = [mm] D_{q} [/mm] = [mm] \IR [/mm] .
Wer's nicht glaubt: Bitte in der Formelsammlung nachsehen!
Ist ja eigentlich auch logisch: Warum soll man die maximal mögliche (!) Definitionsmenge "ohne Not" einschränken?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:47 So 30.01.2005 | | Autor: | informix |
Hallo Zwerglein,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
du hast ja einen rasanten Start hier im MatheRaum und in der Vorhilfe vorgelegt. ![[super]](/images/smileys/super.gif "[super]")
Darum ein besonders herzliches Willkommen - mach weiter so, wir freuen uns über jeden aktiven Frager und Beantworter.
> Hallo, ich bin's nochmal!
> Zunächst: Es bleibt dabei, dass nur die Antwort |x|
> richtig ist.
Wenn man nur eine der Antworten (ohne jeden Zusatz) ankreuzen darf, sehe ich das genauso.
> Wieso?
> Wenn man zwei Funktionen durch Addition, Subtraktion, etc.
> verknüpft, gilt tatsächlich, dass die "neue
> Definitionsmenge" die Schnittmenge der beiden
> ursprünglichen Definitionsmengen ist.
> Dies gilt aber nicht bei der Verkettung!! .
> Siehe Formelsammlung: Für die Verkettung muss lediglich die
> WERTEMENGE der "eingesetzten Funktion" (in unserem Fall q)
> Teilmenge (oder gleich) der Definitionsmenge der Funktion
> sein, in die eingesetzt wird (in unserem Fall s). Dann gilt
> für die Definitionsmenge der verketteten Funktion (hier:
> h(x)=s(q(x)): [mm]D_{h}[/mm] = [mm]D_{q}[/mm] = [mm]\IR[/mm] .
> Wer's nicht glaubt: Bitte in der Formelsammlung
> nachsehen!
> Ist ja eigentlich auch logisch: Warum soll man die maximal
> mögliche (!) Definitionsmenge "ohne Not" einschränken?
>
> mfG!
> Zwerglein
>
Klasse!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:07 So 30.01.2005 | | Autor: | Zwerglein |
Hallo, Informix,
danke!
Deinen Schluss-Satz möchte ich - mit Deiner Erlaubnis - ergänzen,
und zwar durch mein Lebensmotto.
Es stammt von Katharina von Siena und lautet:
Nicht das Beginnen wird belohnt, sondern das Durchhalten!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:03 So 30.01.2005 | | Autor: | freak019 |
Habe gerade in der Formelsammlung nachgeschlagen und mich gefreut, denn dort steht es so, wie von dir, Zwerglein, beschrieben:
Für zwei Funktionen f(x) x [mm] \in D_f [/mm] und g(x) x [mm] \in D_g [/mm] sowie [mm] W_f \subset D_g [/mm] gilt: g o f: g(f(x)); x [mm] \in D_f
[/mm]
D.h. doch dann, dass in meinem Beispiel s(q(x))
x aus [mm] D_q [/mm] sein muss, was wiederum mit R definiert war
somit kommt nur noch |x| in Frage und mein Kreuz in der Klausur war richtig, oder?
Sind wir uns alle einig? :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:34 So 30.01.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
um auch mal meinen Senf dazu zugeben: ich denke es stimmt so, wie es hier vorher steht - der durchschnitt der Definitionsbereiche ist eigentlich unwichtig - ja manchmal sogar gar nicht machbar !
Wichtig ist, dass das BILD der inneren Funktion im Definitionsbereich der äußeren Funktion liegt - dann ist die Verkettung wohldefiniert ! und es gilt natürlich, dass man alle Argumente der inneren Funktion rein stecken darf, d.h. dies ist der Definitionsbereich der verketteten Funktion.
Beispiel : $ [mm] f:\IR^2\to\IR\quad f(\vektor{a\\b}):=a+b [/mm] $ und $ [mm] g:\IR\to\IR\quad [/mm] g(x)=x-5 $
dann ist g°f($ [mm] \vektor{a\\b} [/mm] $)=g(f(..))=a+b-5 und man darf alle Vektoren aus R² reinstecken (der Durchschnitt der Def.Bereiche wäre leer !!)
es ist also wirklich so, wie es hier vorher steht.
(d.h. ich stimme zu  )
viele Grüße
DaMenge
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
