Verkehrsdichte in einem Tunnel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Für die einen Tunnel durchfahrenden Kraftfahrzeuge soll eine Richtgeschwindigkeit vorgeschrieben werden. Bei einer Modellrechnung wird für den Sicherheitsabstand S(v) (in Metern), der bei einer Geschwindigkeit von v Kilometern pro Stunde einzuhalten ist, die Formel
S(v)=1/2 (v/10)²
zugrundegelegt. Ferner geht man dabei von einer mittleren Fahrzeuglänge von 12m aus. Wie ist die Richtgeschwindigkeit festzulegen, damit möglichst viele Fahrzeuge den Tunnel in einer Stunde passieren können? Wie viele Fahrzeuge sind dies? |
bitte helft mir, ich hab echt keine Ahnung wie ich hier überhaupt anfangen soll?? Was muss man hier optimieren? Man hat ja nicht mal eine Vorgabe über die Länge des Tunnels.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo!!!
Also wenn ich das richtig verstehe sollten einfach pro Stunde eine Maximale Anzahl von Autos durfahren,wobei wir annehmen,dass ein Auto eine Länge von 12m hat und jedes auto genau v fährt und den Sicherheitsabstand von s(v) einhält, was natürlich nicht sehr realistisch ist  !!!
Also: Ich habe gedacht wenn der Tunnel eine Länge L hat. und jedes Auto hinter sich und vor sich einen Sicherheitsabstand. Wenn Auto an Auto fahren würde,so würdest du einfach L/12m dividieren und du hättest die Anzahl der Autos die im Tunnel platz haben.
Aber sie sind nicht dicht hintereinander => nehme Einfach an die Autos wären dicht hintereinander, hätten aber eine Länge von 12+2*S(V)
=> Anzahl [mm] N=\bruch{L}{12+2*S(V)}=\bruch{L}{12+2*S(V)}=
[/mm]
Im Nenner sind alles Meter!!! Wissen V=L/T T= 1 Stunde
v in km/h => L=V *1000 wenn wir im Zähler auch Meter stehen sollen
=> [mm] \bruch{1000*v}{12+2*S(V)}=\bruch{1000}{12+v^{2}/100}=
[/mm]
Ich weiß nicht ob du differenzieren kannst.
Nehmen wir an schon => dN/dv= 0 => Maximum für N ist bei v=125km/h
Ich weiß nicht ob das so ist wie du es dir vorstellst,aber man kann ja drüber diskutieren:
Mfg daniel
|
|
|
| |
|
Danke erstmal 
Also in der Anleitung steht noch : Begründen Sie, dass für die Richtgeschwindigkeit nur von Bedeutung ist, wie lange ein Kfz benötigt, um den Sicherheitsabstand und seine eigene Länge zu durchfahren.
Ich dachte jetzt so das ein Fahrzeug S(v)+12m Platz benötigt und da die formel für die geschwindigkeit v=s/t lautet hab ich sie umgestellt:
t=s/v -> meine gleichung lautet dann t(v) = (s(v)+12)/(1000*v)
und damit bekommt man raus alle t(v) stunden kommt ein auto aus dem tunnel
ps ( 1000*v weil ja alles in metern berechnet werden musst und nich in km/h)
Könnte das stimmten?? Dann müsste ich ja jetzt nur noch t(v) minimieren??
|
|
|
| |
|
hallo!!!
ich glaube ich habe einen Fehler gemacht und zwar bei v=s/t indem ich zeit und Strecke gewählt habe.
Lass es uns anders überlegen: Wenn du es praktisch messen müsstest würdest du zählen wieviel Autos in einer Stunde in den Tunnel hinenfahren und wieviel Autos wieder herauskommen.In unserem Fall ist es dasselbe,da alles Autos gleich schnell fahren und der Abastan auch gleichbleibt.Ein unendliche langer Autostrom:
So die Zeit zwischen 2 Autos die in den Tunnel fahren ist also:
t=s/v = [mm] \bruch{12+1/2*v^{2}/100}{v} [/mm] v in km/h
Wenn du nun v mit 3,6 dividierts kommst du auf m/s damit sich die meter streichen:
So nun weißt du wieviel zeit zwischen 2 Autos liegen=> 60/t=N..Anzahl der in 60sec hineingefahrenen Autos!!!
Es kommt diesselbe Funktion heraus,also passt es trotzdem aber diese Überlegung ist besser !!!
Es kommt trotzdem was anderes heraus weil ich vorher s(v) mit 2 multiplizeirt habe:
Also nimm bitte diese Überlegung,denn das vorher war nur teilweise richtig !!!
Genau habe mit 1000 multipliziert um v das ja in km/h dasteht auf m/h zu bringen=> 1/Term kommt wieder folgendes heraus:
[mm] N=\bruch{1000*v}{12+1/2*v^{2}/100} [/mm] mit v in km/h!!Diese Funktion musst du optimieren!!!
ALLES KLAR? mfg daniel
|
|
|
| |
|
Ja danke ich glaub jetzt hab ichs verstanden. Mal ausprobieren ob ich auf ein passables Ergebnis komm! Nochmal danke!!
|
|
|
| |
|
hey!
Also den Rechenweg und so konnte ich nun echt gut nachvollziehen nur ich komm einfach nicht auf die richtigen Ableitung von N(v)
N(v)= (1000*v)/(12+1/2*v²/100)
Kann man die Gleichung noch wirklich vereinfachen?? Sonst muss man doch mit der Ouotientenregel ableiten oder?
Danke schonmal im vorraus!
|
|
|
| |
|
Hallo FallenAngelll!
Als einzige (sinnvolle) Vereinfachung könntest Du diesen Bruch mit $200_$ erweitern.
Ansonsten wirst Du um die Anwendung der  Quotientenregel nicht rumkommen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
also wenn ich dann mit 200 erweiter kommt raus:
200000v/2400+v²
und die Ableitung mit der Quotientenregel:
(480 000 000 + 199 000v²)/5 760 000v4 ??
kann das richtig sein sind irgendwie komische Zahlen.
|
|
|
| |
|
Hallo FallenAngelll!
Da bist Du wohl etwas mit den Potenzen durcheinander geraten, denn Dein Ergebnis stimmt nicht.
Klammern wir im Zähler einfach mal aus bzw. schreiben vor den Bruch:
$N(v) \ = \ [mm] \bruch{200000*v}{2400+v^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*10^5*\bruch{v}{2400+v^2}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $N'(v) \ = \ [mm] 2*10^5*\bruch{1*\left(2400+v^2\right)-v*2v}{\left(2400+v^2\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*10^5*\bruch{2400+v^2-2v^2}{\left(2400+v^2\right)^2} [/mm] \ = \ [mm] 2*10^5*\bruch{2400-v^2}{\left(2400+v^2\right)^2}$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Oh ja ich hab meinen Fehler entdeckt!
Danke
mfg
|
|
|
|
