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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion [mm] f{x}=0.5x*e^{x} [/mm]
1. Stellen Sie eine Regel zur Bestimmung der n-ten Ableitung von f auf und beweisen Sie sie.
2. Damit lässt sich leicht [mm] \integral_{}{f(x) dx} [/mm] vermuten. Verifizieren Sie ihr Ergebnis durch Differenzieren |
Bei Frage eins habe ich bereits eine Regel aufgestellt.
Da [mm] f'(x)=e^{x}*(0.5+0.5x) [/mm] und
[mm] f''(x)=e^{x}*(1+0.5x), [/mm] habe ich die Regel [mm] f^{n}=e^{x}*(\bruch{n+1}{2}+\bruch{1}{2}x)
[/mm]
Und jetzt muss ich es irgendwie allgemein beweisen, aber wie?
Und bei Frage zwei weiß ich auch nicht was man machen muss.
Bitte um Hilfe.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Gegeben ist die Funktion [mm]f{x}=0.5x*e^{x}[/mm]
> 1. Stellen Sie eine Regel zur Bestimmung der n-ten
> Ableitung von f auf und beweisen Sie sie.
> 2. Damit lässt sich leicht [mm]\integral_{}{f(x) dx}[/mm] vermuten.
> Verifizieren Sie ihr Ergebnis durch Differenzieren
> Bei Frage eins habe ich bereits eine Regel aufgestellt.
> Da [mm]f'(x)=e^{x}*(0.5+0.5x)[/mm] und
> [mm]f''(x)=e^{x}*(1+0.5x),[/mm] habe ich die Regel
> [mm]f^{n}=e^{x}*(\bruch{n+1}{2}+\bruch{1}{2}x)[/mm]
> Und jetzt muss ich es irgendwie allgemein beweisen, aber
> wie?
> Und bei Frage zwei weiß ich auch nicht was man machen
> muss.
> Bitte um Hilfe.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hallo Owen,
ich glaube, du hast da eine 1 zuviel in der allgemeinen Ableitung:
Du hast: [mm] f^{(n)}(x)=e^x\left(\frac{n+\red{1}}{2}+\frac{1}{2}x\right)
[/mm]
Ich denke, es muss heißen: [mm] f^{(n)}(x)=e^x\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}x\right)
[/mm]
Hier würde ich noch die [mm] \frac{1}{2} [/mm] ausklammern:
Also [mm] f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}e^x(x+n)
[/mm]
Beweisen musst du das mit vollständiger Induktion nach n.
Kennst du dieses Beweisprinzip?
zur (2) ein Tipp: Beim Differenzieren wird mit jeder Ableitung das n um 1 erhöht, da liegt es nahe, dass beim Integrieren vielleicht ...
Die Vermutung kannst du durch Ableiten überprüfen.
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:37 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Owen |
Ja stimmt die eins muss weg bei n, habe mich verschrieben. Also die vollständige Induktion kenne ich nicht, würde aber gerne wissen wie das geht. Beim Integrieren müsste das n um eins reduziert werden, aber wie integriere ich allgemein?
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Hallo nochmal,
schau dir doch bei wikipedia mal das Prinzip der vollst. Induktion an.
In kurzen Worten: Wenn es darum geht, eine Aussage, die für alle [mm] n\in\IN [/mm] gelten soll, zu beweisen, bietet sich die vollst. Induktion an.
Sei A(n) mal diese Aussage; die Struktur des Beweises ist folgende:
Wenn du zeigst, dass gilt:
(1) A(1) und
(2) [mm] A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1)
dann gilt die Aussage bereits für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
quasi das Dominoprinzip:
fällt der erste Stein um (dh. gilt A(1)) und kippt mit einem beliebigen Stein (A(n)) auch sein Nachfolger (A(n+1)) um, so kippen alle Steine um
A(1) nennt man den [mm] \bold{Induktionsanfang}
[/mm]
[mm] A(n)\Rightarrow [/mm] A(n+1) nennt man den [mm] \bold{Induktionsschritt} [/mm] von n auf n+1
Also fangen wir an:
Ind.Anfang: n=1:
Wir müssen zeigen, dass [mm] A(\red{1}) [/mm] gilt.
Das heißt übertragen auf die Aufgabe, dass die [mm] \red{1}. [/mm] Ableitung [mm] f^{(\red{1})}(x)=\frac{1}{2}e^x(x+\red{1}) [/mm] ist
Das hast du ja oben schon berechnet
Der Ind.Anfang gilt also schonmal, der erste Stein ist gefallen
Nun der Ind.Schritt: [mm] n\rightarrow [/mm] n+1
Wir nehmen an, dass für ein beliebiges, aber festes [mm] n\in\IN [/mm] A(n) gilt,
also [mm] f^{(n)}(x)=\frac{1}{2}e^x(x+n)
[/mm]
Nun müssen wir zeigen, dass dann auch gefälligst [mm] f^{(n+1)}(x)=\frac{1}{2}e^x(x+(n+1)) [/mm] ist
Wie können wir das?
Wenn du das gezeigt hast, ist die Formel für alle [mm] n\in\IN [/mm] erfüllt
Deine Vermutung bzgl. des Integrals ist richtig, leite einfach das vermutete Integral ab.
Mehr war nicht verlangt.
Aber jedes weitere Integral würde sich nach demselben Schema bilden lassen (auch per Induktion  )
Hoffe, das war als knappe Erläuterung einigermaßen verständlich und nicht zu konfus
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:10 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Owen |
Ach so geht das, danke :)
Habe es im Groben verstanden. Das einzige was mich stört, ist die Tatsache, dass man auf die Form mit der ausgeklammerten [mm] 0.5*e^{x} [/mm] kommen musste, da wäre ich ohne Weiteres nicht darauf gekommen es zu machen.
LG
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Hi,
das musst du nicht, es sind ja die selben Ausdrücke:
Du kannst den ganzen Beweis auch machen mit der Formel [mm] f^{(n)}(x)=e^x(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}x)
[/mm]
Das sah mir nur etwas unübersichtlicher aus, geht aber genauso
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:16 Mo 02.04.2007 | | Autor: | Owen |
achso, dann bin ich beruhigt :) danke
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