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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Kristof |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f. Ermitteln Sie die Definitionsmeng, die Nullstellen und die Polstellen und geben sie das Verhalten von f in der Umgebung einer Polstelle an. Notieren sie gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte des Graphen von f mt den Koordinatenachsen sowie die Gleichungen der senkrechten Asymptoten.
a.) f (x) = [mm] \bruch{x}{x-3}
[/mm]
b.) f (x) = [mm] \bruch{x}{x^2-4}
[/mm]
c.) f (x) = [mm] \bruch{x^2-x}{x^2-x-6} [/mm] |
Hallo,
Fange ich gleich mal an. Den größten Teil der Aufgabe habe ich verstanden, und ihn auch gemacht. Habe mir jede Aufgabe Vorgenommen und habe zu erst folgenden Aufgabenteil bei den Aufgaben gemacht :
Zuerst noch eine Frage.
Definitionslücken sind doch Polstellen oder? Bin jedenfalls bei der bearbeitung der Aufgabe davon ausgegangen ;)
Gegeben ist die Funktion f. Ermitteln Sie die Definitionsmeng, die Nullstellen und die Polstellen und geben sie das Verhalten von f in der Umgebung einer Polstelle an.
Zu a.)
D = [mm] \IR \setminus \{3\} [/mm]
Definiionslücke (Polstelle) bie x = 3, da Nenner sonst 0 werden würde.
Nullstelle der Funkton bei x = 0
Verhalten der Funktion an der Polstelle :
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] für x < 3 = [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 2,999 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] für x > 3 = [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 3,001 in die Funktion eingesetzt.)
Daraus folgt : An den Polstellen der Funktion f (x) tritt ein Vorzeichenwechsel auf.
zu b.)
D = [mm] \IR \setminus \{2;-2\} [/mm]
Definitionslücken (Polstellen) bei x = 2 sowie x = -2 , da Nenner sonst 0 werden würde.
Nullstelle der Funkton bei x = 0
[mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] für x < -2 = [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert -2,001 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] für x > -2 = [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert -1,999 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} [/mm] für x < 2 = [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 1,999 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow 2} [/mm] für x > 2 = [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 2,001 in die Funktion eingesetzt.)
Auch hier kann man erkennen, das die Funktion an den Polstellen 2 u. -2 einen Vorzeichenwechsel macht.
zu c.)
D = [mm] \IR \setminus \{3;-2\} [/mm]
Definitionslücken (Polstellen) bei x = 3 und x= -2, da Nenner sonst 0 werden würde.
Nullstellen der Funktion bei x = 0 und x = 1
Verhalten der Funktion an der Polstelle :
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] für x < 3 = [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 2,999 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow 3} [/mm] für x > 3 = [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert 3,001 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] für x < -2 = [mm] \to [/mm] + [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert -2,001 in die Funktion eingesetzt.)
[mm] \limes_{x\rightarrow -2} [/mm] für x > -2 = [mm] \to [/mm] - [mm] \infty [/mm] (habe hier den Wert -1,999 in die Funktion eingesetzt.)
Hier tritt auch ein VZW an den Polstellen auf.
Ja, das war's was ich zu der Aufgabe gemacht habe.
Das andere habe ich nicht verstanden. Also den folgenden Aufgabenteil :
Notieren sie gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte des Graphen von f mt den Koordinatenachsen sowie die Gleichungen der senkrechten Asymptoten.
Weiß wirklich nicht was ich machen soll. Weiß nichtmal was senkrechte Asymptoten sein sollen :(
Vielleicht kann ja jemand für mich ein Beispiel machen und es mir erklären, wäre jedenfalls sehr nett.
MfG
Kristof
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:07 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Teufel |
Hi!
> Notieren sie gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte des
> Graphen von f mt den Koordinatenachsen sowie die
> Gleichungen der senkrechten Asymptoten.
Die gemeinsamen Punkte mit den Koordinatenachsen sollten die Schnittpunkte mit x- und y-Achse sein!
Und Asymptoten sind geraden, an denen sich die Grafen annähren. z.B. die Funktion f(x)=tan(x) hat auch senkrechte Asymptoten, nämlich bei [mm] x=\bruch{1}{2}\pi, x=\bruch{3}{2}\pi [/mm] u.s.w.
Und bei dir sind auch nur die senkrechten gesucht (gibt auch noch "schiefe" und waagerechte).
Und diese haben dann einfach nur die Gleichung x=a, wobei a die Polstelle ist :)
Die Gerade ist parallel zur y-Achse und an der Polstelle geht der Graf ja unendlich dicht an diese Gerade ran, wie beschrieben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:25 Di 31.10.2006 | | Autor: | Kristof |
> Hi!
>
>
> > Notieren sie gegebenenfalls die gemeinsamen Punkte des
> > Graphen von f mt den Koordinatenachsen sowie die
> > Gleichungen der senkrechten Asymptoten.
>
> Die gemeinsamen Punkte mit den Koordinatenachsen sollten
> die Schnittpunkte mit x- und y-Achse sein!
Also bei a und b müsste das im Punkt (0|0) der Fall sein oder?
Bei c.) bin ich mir da nicht sicher?
Kann man das irgendwie errechnen? Oder nur vom Graphen ablesen?
> Und Asymptoten sind geraden, an denen sich die Grafen
> annähren. z.B. die Funktion f(x)=tan(x) hat auch senkrechte
> Asymptoten, nämlich bei [mm]x=\bruch{1}{2}\pi, x=\bruch{3}{2}\pi[/mm]
> u.s.w.
>
> Und bei dir sind auch nur die senkrechten gesucht (gibt
> auch noch "schiefe" und waagerechte).
> Und diese haben dann einfach nur die Gleichung x=a, wobei
> a die Polstelle ist :)
> Die Gerade ist parallel zur y-Achse und an der Polstelle
> geht der Graf ja unendlich dicht an diese Gerade ran, wie
> beschrieben.
Hmmm,
Also dann müssten ja die Asymptoten sein :
a.) x = 3
b.) [mm] x_1 [/mm] = 2 u. [mm] x_2 [/mm] = -2
c.) [mm] x_1 [/mm] = 3 u. [mm] x_2 [/mm] = -2
Aber was meinen die denn genau mit Gleichung der Asymptoten?
Dankeschön
MfG
Kristof
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Asymptoten