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| Aufgabe | Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe von Nullstellen
Hat die holomorphe Funktion f bei [mm] z_{0} [/mm] eine k-fache Nulltelle, [mm] k\ge1, [/mm] so gib es eine in einer Umgebung [mm] U_{0} [/mm] von [mm] z_{0} [/mm] holomorphe Funktion h mit einer einfachen Nullstelle bei [mm] z_{0}, [/mm] so dass
[mm] f(z)=(h(z))^{k} [/mm] für alle z in [mm] U_{0}. [/mm]
Man kann auch sagen: Bis auf eine lokale biholomorphe Transformation verhält sich eine holomorphe Funktion in der Nähe einer k-fachen Nullstelle so wie die k-te Potenz in der Nähe von 0. |
Guten Morgen,
ich verstehe den letzten Satz in meinem abgetippten Text nicht. Was eine lokal biholomorphe Funktion ist weiß ich, und auch dass h(z) eine ist, weil jede Funktion mit [mm] h'(z_{0})\not=0 [/mm] lokal biholomorph ist.
Aber dann steh ich irgendwie auf dem Schlauch. f verhält sich so wie die k-te Potenz in der Nähe von 0. Die k-te Potenz von was? von h(z)? Oder von f(z) selbst, weil es ja heißt "bis auf eine lokale Transformation", welche dann h(z) wäre.
Und warum in der Nähe von 0? Wenn h(z) da eine einfache Nullstelle hat muss die doch nicht bei [mm] z_{0}=0 [/mm] liegen. Also ist die k-te Potenz der Umkehrfunktion von h gemeint? bzw. die k-te Potenz der Umkehrfunktion der k-ten Wurzel von f?
Danke für die Hilfe!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:29 Mo 22.10.2012 | | Autor: | fred97 |
> Verhalten holomorpher Funktionen in der Nähe von
> Nullstellen
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> Hat die holomorphe Funktion f bei [mm]z_{0}[/mm] eine k-fache
> Nulltelle, [mm]k\ge1,[/mm] so gib es eine in einer Umgebung [mm]U_{0}[/mm]
> von [mm]z_{0}[/mm] holomorphe Funktion h mit einer einfachen
> Nullstelle bei [mm]z_{0},[/mm] so dass
>
> [mm]f(z)=(h(z))^{k}[/mm] für alle z in [mm]U_{0}.[/mm]
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> Man kann auch sagen: Bis auf eine lokale biholomorphe
> Transformation verhält sich eine holomorphe Funktion in
> der Nähe einer k-fachen Nullstelle so wie die k-te Potenz
> in der Nähe von 0.
> Guten Morgen,
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> ich verstehe den letzten Satz in meinem abgetippten Text
> nicht. Was eine lokal biholomorphe Funktion ist weiß ich,
> und auch dass h(z) eine ist, weil jede Funktion mit
> [mm]h'(z_{0})\not=0[/mm] lokal biholomorph ist.
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> Aber dann steh ich irgendwie auf dem Schlauch. f verhält
> sich so wie die k-te Potenz in der Nähe von 0. Die k-te
> Potenz von was? von h(z)? Oder von f(z) selbst, weil es ja
> heißt "bis auf eine lokale Transformation", welche dann
> h(z) wäre.
> Und warum in der Nähe von 0? Wenn h(z) da eine einfache
> Nullstelle hat muss die doch nicht bei [mm]z_{0}=0[/mm] liegen. Also
> ist die k-te Potenz der Umkehrfunktion von h gemeint? bzw.
> die k-te Potenz der Umkehrfunktion der k-ten Wurzel von f?
>
> Danke für die Hilfe!
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Wenn h in [mm] z_0 [/mm] eine einfache Nullstelle hat, so lässt sich h schreiben in der Form
[mm] h(z)=(z-z_0)g(z)
[/mm]
mit einer auf [mm] U_0 [/mm] holomorphen Funktion g für die gilt [mm] g(z_0) \ne [/mm] 0.
Damit ist [mm] f(z)=(z-z_0)^k*g(z)^k [/mm] auf [mm] U_0.
[/mm]
In der Nähe von [mm] z_0 [/mm] verhält sich also f wie die Potenz [mm] (z-z_0)^k
[/mm]
FRED
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