Verhältnis durch Tangente < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist die Funktionsschar [mm] f_{k}(x) [/mm] = [mm] k\wurzel{x} [/mm] mit x [mm] \in \IR [/mm] und k [mm] \in \IR\{0\}. [/mm] De Graph [mm] f_{k} [/mm] heißt [mm] G_{k}.
[/mm]
a) Der Graph schließt mit der x-Achse und der Geraden x=a mit a>0 ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein. Bestimmen Sie A.
b) Vergleichen sie A mit dem Inhalt des Rechtecks das Durch die Punkte O(0/0), P(a/0), [mm] Q(a/f_{k}(a)), R(0/f_{k}(a) [/mm] festgelegt ist.
c) Stellen sie die Gleichung der Tangente t im Kurvenpunkt Q auf!
d) In welchem Verhältnis teilt die Tangente t den Inhalt des rechtecks OPQR. |
a) Ansatz:
f(x) = k [mm] \wurzel{x}; [/mm] x=a
A= [mm] \integral_{0}^{a}{k \wurzel{x} dx}
[/mm]
Aufleitung: k [mm] \bruch{2x^{\bruch{3}{2}}}{3}
[/mm]
Integrationsgrenzen 0 und a
A=k [mm] \bruch{2a^{\bruch{3}{2}}}{3}
[/mm]
ist das so richtig?
b) Rechteck
A= a x(k x [mm] \wurzel{a})
[/mm]
A= [mm] kax^{\bruch{3}{2}}
[/mm]
Das Intergral stellt [mm] \bruch{2}{3} [/mm] des Rechtecks da.
Reicht das aus???
c) Tangente im Punkt [mm] Q(a/f_{k}(a))
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{k}{2\wurzel{x}}
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{k}{2\wurzel{a}}
[/mm]
Steigung der Tangente: [mm] \bruch{k}{2\wurzel{a}}
[/mm]
y= mx +b
[mm] k\wurzel{a} [/mm] = [mm] \bruch{k}{2\wurzel{a}}a [/mm] +b
b= [mm] k(\bruch{1}{2}\wurzel{a})
[/mm]
so weit alles richtig???
d) Wie soll man denn jetzt das verhältnis ermitteln???
Vielen dank für die Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:47 Di 27.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Jesper
> Gegeben ist die Funktionsschar [mm]f_{k}(x)[/mm] = [mm]k\wurzel{x}[/mm] mit x
> [mm]\in \IR[/mm] und k [mm]\in \IR\{0\}.[/mm] De Graph [mm]f_{k}[/mm] heißt [mm]G_{k}.[/mm]
>
> a) Der Graph schließt mit der x-Achse und der Geraden x=a
> mit a>0 ein Flächenstück mit dem Inhalt A ein. Bestimmen
> Sie A.
>
> b) Vergleichen sie A mit dem Inhalt des Rechtecks das
> Durch die Punkte O(0/0), P(a/0), [mm]Q(a/f_{k}(a)), R(0/f_{k}(a)[/mm]
> festgelegt ist.
>
> c) Stellen sie die Gleichung der Tangente t im Kurvenpunkt
> Q auf!
>
> d) In welchem Verhältnis teilt die Tangente t den Inhalt
> des rechtecks OPQR.
> a) Ansatz:
>
> f(x) = k [mm]\wurzel{x};[/mm] x=a
>
> A= [mm]\integral_{0}^{a}{k \wurzel{x} dx}[/mm]
>
> Aufleitung: k [mm]\bruch{2x^{\bruch{3}{2}}}{3}[/mm]
>
> Integrationsgrenzen 0 und a
>
> A=k [mm]\bruch{2a^{\bruch{3}{2}}}{3}[/mm]
>
> ist das so richtig?
Sieht gut aus, schreibe aber [mm] a^{\bruch{2}{3}} [/mm] mal als [mm] \wurzel[3]{a²}
[/mm]
>
> b) Rechteck
>
> A= a x(k x [mm]\wurzel{a})[/mm]
>
> A= [mm]kax^{\bruch{3}{2}}[/mm]
>
> Das Intergral stellt [mm]\bruch{2}{3}[/mm] des Rechtecks da.
>
> Reicht das aus???
Yep, aber wenn du es genauer haben willst, bilde mal [mm] \bruch{Rechteck}{Integral}=\bruch{kax^{\bruch{3}{2}}}{k*\bruch{2a^{\bruch{3}{2}}}{3}}=\bruch{1}{\bruch{2}{3}}=\bruch{3}{2}
[/mm]
Also: RE:Integral=3:2
>
> c) Tangente im Punkt [mm]Q(a/f_{k}(a))[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{k}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> [mm]f'(x)=\bruch{k}{2\wurzel{a}}[/mm]
>
> Steigung der Tangente: [mm]\bruch{k}{2\wurzel{a}}[/mm]
>
> y= mx +b
>
> [mm]k\wurzel{a}[/mm] = [mm]\bruch{k}{2\wurzel{a}}a[/mm] +b
>
> b= [mm]k(\bruch{1}{2}\wurzel{a})[/mm]
>
> so weit alles richtig???
Sieht gut aus, schreibe aber die Tangente nochmal hin.
>
> d) Wie soll man denn jetzt das verhältnis ermitteln???
>
Dazu berechen erstmal die Fläche unter der Tangente im angegebenen Intervall mit der Integralrechnung.
Und dann bilde wieder den Quotienten [mm] \bruch{Rechteck}{Tangentenflaeche}.
[/mm]
> Vielen dank für die Hilfe
>
>
Marius
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