Vergleich Riemann-Lebesgue < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:46 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Hallo!
Im Bauer (Maßtheorie) lernt man, dass sin(x)/x uneigentlich Riemann-integrierbar ist, jedoch nicht lebesgue-integrierbar, was ja nicht an der "Wildheit" des Integranden liegt (das Lebesgue schafft ja auch die Dirichlet-Funktion, Riemann nicht), sondern an der getrennten Rechnung für den Positiv- und Negativanteil über ganz [mm] \IR. [/mm] Wieso gibt es nicht das uneigentliche Lebesgue-Integral als Integral über eine Folge von (kompakten) Mengen endlichen Maßes, welche (isoton) gegen [mm] \IR [/mm] streben?
LG
gfm
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:55 Di 09.02.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt folgender Satz:
Sei A [mm] \subseteq \IR^n [/mm] und [mm] (A_k) [/mm] eine aufsteigende Folge von Teilmengen von A, deren Vereinigung ganz A ist. Weiter sei f eine auf A def. Funktion, die über jedes [mm] A_k [/mm] integrierbar sei.
Dann gilt:
f ist über A integrierbar [mm] \gdw [/mm] die Folge $ [mm] (\integral_{A_k}^{}{|f(x)| dx})$ [/mm] ist beschränkt.
In diesem Fall: $ [mm] \integral_{A}^{}{f(x) dx}= \limes_{k\rightarrow\infty}\integral_{A_k}^{}{f(x) dx}$ [/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:05 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Das weiß ich. Aber das meine ich nicht.
Das Lebesgueintegral (und auch das Riemannintegral) über |sin(x)/x| von 0 bis [mm] \infty [/mm] existiert erst recht nicht. Meines Wissens aber schon auch [mm] (sin(x)/x)^{+} [/mm] und [mm] (sin(x)/x)^{-} [/mm] nicht, was die L-integrierbarkeit verhindert.
Warum gibt keine Definition für ein uneigentliches L-Integral in der Form
[mm] \integral_{A}f(x)dx:= \limes_{A_n\to A} (\integral_{A_n}f^+(x)dx+\integral_{A_n}f^-(x)dx)
[/mm]
für den Fall, dass f zwar nicht auf A aber auf allen [mm] A_n [/mm] einer aufsteigenden Folge integrierbar ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 Di 09.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Man kann, völlig analog zum uneigentlichen Riemann-Integral auch ein uneigentliches Lebesgue-Integral definieren so wie du es vorgeschlagen hast. Der von Fred zitierte Ausschöpfungssatz hat damit nicht viel zu tun, da wie du bereits richtig bemerkt hast die Funktion [mm] $f(x)=\sin(x)/x$ [/mm] einfach nicht Lebegue-Integrierbar ist auf [mm] $\IR$.
[/mm]
Der Punkt ist, dass das Riemann-Integral zunächst mal nur für (fast überall stetige) Funktionen auf kompakten Intervallen erklärt ist, und man z.B. [mm] $$\int_0^11/x^2 [/mm] dx$$ ohne das uneigentliche Riemannintegral gar nicht hinschreiben könnte. Diese Einschränkung hat das Lebesgue-Integral von Haus aus einfach nicht, da man über beliebigen messbaren Mengen integrieren kann. Es ist nur in "pathologischen Fällen" wie eben [mm] $\sin(x)/x$ [/mm] sinnvoll, ein uneigentliches Lebesgue-Integralen einzuführen.
Man müsste sich dann natürlich noch genauer überlegen welche guten Eigenschaften des normalen Lebesgue-Integrals sich auf ein uneigentliches Lebesgue-Integral übertragen, da bin ich leider auch etwas überfragt.
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Im Bauer wird das aber nicht behandelt. Kennst Du ein Buch oder Link?
LG und Danke!
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:45 Di 09.02.2010 | | Autor: | pelzig |
Nein, ich kenne keins. Da es selbst im Elstrodt nicht drin steht scheint es wohl wirklich einfach nicht-Standart zu sein. Geh in die Bibliothek oder fang an selbst zu forschen 
Viel Spaß,
Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:51 Di 09.02.2010 | | Autor: | gfm |
Trotzdem vielen Dank für Dein Interesse.
LG
gfm
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:02 Di 09.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> Das Lebesgueintegral (und auch das Riemannintegral) über
> |sin(x)/x| von 0 bis [mm]\infty[/mm] existiert erst recht nicht.
> Meines Wissens aber schon auch [mm](sin(x)/x)^{+}[/mm] und
> [mm](sin(x)/x)^{-}[/mm] nicht, was die L-integrierbarkeit
> verhindert.
Die existieren mit jeweils uneiegtnlichen Werten [m]+\infty[/m].
>
> Warum gibt keine Definition für ein uneigentliches
> L-Integral in der Form
>
> [mm]\integral_{A}f(x)dx:= \limes_{A_n\to A} (\integral_{A_n}f^+(x)dx+\integral_{A_n}f^-(x)dx)[/mm]
>
> für den Fall, dass f zwar nicht auf A aber auf allen [mm]A_n[/mm]
> einer aufsteigenden Folge integrierbar ist?
Weil diese Definition nicht wohldefineirt ist! Das ist der Grund, warum auch der Umordnugnssatz für Riehen nur für absolut konvergente Reihen gilt. Es ist hier nämlich so, dass du für jedes (!) [m]c\in\IR[/m] eine Folge von aufsteigenden [m]A_n[/m] finden kannst, mit [m]A_n\to \IR[/m] (wie macht man den Pfeil nach oben nochmnal in LaTeX?) so dass [m]c=\lim_{n\to\infty}\int_{A_n} f[/m]. Dazu sollte es ne Übung im Bauer geben, oder? Ansonsten schau mal in den Elstrodt.
Die [m]A_n[/m] für das Rieman-Integral sind eben nur kompakte Intervalle - wenn du nur die zulässt, kann man das machen. Aber, so scheint es, benutzt das niemand.
SEcki
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