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| Aufgabe | | Sei V ein Vektorraum über K und [mm] U_1,U_2 [/mm] Untervektorräume von V. Man zeige: Ist [mm]U_1\cup U_2=V[/mm], dann ist [mm] U_1=V [/mm] oder [mm] U_2=V. [/mm] |
Hallo!
Ich dachte ich gehe mal davon aus, dass auf [mm]U_1\cup U_2=V[/mm] [mm] U_1\not=V, U_2\not=V [/mm] folgt und versuche dies dann ad absurdum zu führen.
Wählt man [mm] U_1=\{0\} [/mm] so müsste also [mm]\{0\}\cup U_2=V[/mm] und [mm] U_2\not=V [/mm] sein. Also ist [mm] U_2=V/\{0\} [/mm] was der Voraussetzung wiederspricht, dass [mm] U_2 [/mm] ein Untervektorraum ist, weil er so keine 0 enthält. Somit dürfte die Behauptung bewiesen sein.
Die Idee mit dem [mm] \{0\} [/mm] hatte ich sofort.Meine eigentliche anfängliche Unsicherheit war es, ob es genügt, die Behauptung für ein spezielles [mm] U_1 [/mm] ad absurdum zu führen. Wobei ich das jetzt klar finde, da wenn die Behauptung schon richtig ist, für alle Untervektorräume richtig sein muss.
Stimmt das soweit?
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:27 Mi 19.08.2009 | | Autor: | alex42 |
Hallo Angelika,
wenn ich es richtig sehe, ist die Argumentation so noch nicht ausreichend: Du hast deine Annahme bisher wirklich nur für [mm] $U_1 [/mm] = [mm] \{0\}$ [/mm] widerlegt. Es könnte ja noch ein anderes [mm] $U_1$ [/mm] geben, für das die Aussage gilt. Hier musst du wirklich mit allgemeinen UVR argumentieren. Den Ansatz mit dem Widerspruch finde ich aber nicht schlecht, dabei würde ich bleiben.
Gruß,
Alex
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Blödsinn!Entschuldige,die Frage hat sich erübrigt!
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Hallo!
Bei diesem Beweis will mir die rettende Idee einfach nicht kommen. Dabei steht im Buch wie Hohn, dass der Beweis in 3 Zeilen unterzubringen, also relativ unkompliziert sei. Ich bin jetzt auf eine sehr komplizierte Variante gestoßen, die ich meiner räumlichen Vorstellung entnommen habe und überhaupt nicht sagen kann ob sie formal und logisch einwandfrei ist. Ihr werdet ihn schrecklich finden...
Dabei habe ich mich erstmal gefragt ob die Vereinigungsmenge zweier UVR überhaupt wieder ein UVR ist?
Die 0 enthält er allemal.
Für [mm] x,y\in U_1 [/mm] und [mm] x,y\in U_2 [/mm] ist die Abgschlossenheit gegenüber der Addition klar.Auch gegenüber der Multiplikation ist er Abgeschlossen.
Für [mm] x\in U_1 [/mm] und [mm] y\in U_2 [/mm] habe ich bei der additiven Abgeschlossenheit zwischen [mm] U_1\subset U_2 [/mm] und [mm] U_1\not\subset U_2 [/mm] unterschieden.
Für Ersteres folgerte ich die Abgeschlossenheit aus derer von [mm] U_2. [/mm] Für Zweiteres betrachtete ich [mm] U_1\cup U_2 [/mm] ohne [mm] U_2\cap U_1. [/mm] Dann sind es doch komplett verschiedene Mengen mit verschiedenen Elementen und die Summe(x+y) kann doch nie in einer der beiden liegen. Geometrisch habe ich mir das z.B. mithilfen von Geraden mit Durchstoß der Ebene veranschaulicht. Es muss ja nun, damit überhaupt von [mm] U_1\cup U_2=V [/mm] die Rede sein kann [mm] U_1\cup U_2 [/mm] ein Vektorraum sein, es kommen also nur [mm] U_1\subset U_2 [/mm] in Frage. Damit aber auch mengenmäßig die Gleichheit gilt muss doch [mm] U_2=V [/mm] sein. (Umgekehrt für [mm] U_2\subset U_1)
[/mm]
Eine andere Idee war die Form des Wiederspruchtsbeweises beizubehalten und wenn [mm] U_1\cup U_2=V [/mm] mit [mm] U_2,U_1\not=V [/mm] gilt zu zeigen, dass dies im Wiederspruch dazu steht das [mm] U_2 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] beide UVR sind. Wenn [mm] U_1 [/mm] ein beliebig gewählter UVR ist könnte [mm] U_2 [/mm] ja die Null enthalten aber wäre nicht abgeschlossen.(Laut räumlicher Vorstellung).
Allerdings weiß ich nicht wie ich das algebraisch beweisen soll??
Gruß
Angelika
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:58 Do 20.08.2009 | | Autor: | pelzig |
Hallo Angelika,
Diese Frage wurde im Forum schon sehr oft gestellt. Mehrere Lösungen findest du z.B. hier.
Wenn du eine Aussage hast der Form [mm] "A\Rightarrow [/mm] B oder C", dann empfielt es sich eigentlich immer "A und (nicht [mm] B)\Rightarrow [/mm] C" zu zeigen. Überlege dir, dass dies tatsächlich äquivalent ist.
Viele Grüße,
Robert
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Hallo!
Ich will meinen Beweis überhaupt nicht schönreden, er ist schrecklich chaotisch und alles aber trotzdem...Was ist eigentlich falsch daran?Ich habe mir jetzt die Grundidee der beiden Beweise angeschaut und finde das die Teile von Marcels Beweis doch mit viel gutem Willen mit meinem Ansatz übereinstimmt:
> Dabei habe ich mich erstmal gefragt ob die
> Vereinigungsmenge zweier UVR überhaupt wieder ein UVR
> ist?
> Die 0 enthält er allemal.
> Für [mm]x,y\in U_1[/mm] und [mm]x,y\in U_2[/mm] ist die Abgschlossenheit
> gegenüber der Addition klar.Auch gegenüber der
> Multiplikation ist er Abgeschlossen.
>
> Für [mm]x\in U_1[/mm] und [mm]y\in U_2[/mm] habe ich bei der additiven
> Abgeschlossenheit zwischen [mm]U_1\subset U_2[/mm] und
> [mm]U_1\not\subset U_2[/mm] unterschieden.
> Für Ersteres folgerte ich die Abgeschlossenheit aus derer
> von [mm]U_2.[/mm]
Das interessierte Marcel ja überhaupt nicht, da er von [mm] U_1,U_2\not=V [/mm] ausging und in diesem Fall ja eh [mm] U_1\cup U_2\not=V [/mm] ist. Deshalb hat er ja auch keine Fallunterscheidung gebraucht.
Für Zweiteres betrachtete ich [mm]U_1\cup U_2[/mm] ohne
> [mm]U_2\cap U_1.[/mm] Dann sind es doch komplett verschiedene Mengen
> mit verschiedenen Elementen und die Summe(x+y) kann doch
> nie in einer der beiden liegen. Geometrisch habe ich mir
> das z.B. mithilfen von Geraden mit Durchstoß der Ebene
> veranschaulicht.
Das wäre doch in groben Zügen der Wiederspruch, oder? Hier sehe ich kleine Parallelen zu Marcels Beweis.
Es muss ja nun, damit überhaupt von
> [mm]U_1\cup U_2=V[/mm] die Rede sein kann [mm]U_1\cup U_2[/mm] ein Vektorraum
> sein, es kommen also nur [mm]U_1\subset U_2[/mm] in Frage. Damit
> aber auch mengenmäßig die Gleichheit gilt muss doch [mm]U_2=V[/mm]
> sein. (Umgekehrt für [mm]U_2\subset U_1)[/mm]
Was sagt ihr dazu?
Gruß
Anglika
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> > Dabei habe ich mich erstmal gefragt ob die
> > Vereinigungsmenge zweier UVR überhaupt wieder ein UVR
> > ist?
>
>
> > Die 0 enthält er allemal.
> > Für [mm]x,y\in U_1[/mm] und [mm]x,y\in U_2[/mm] ist die
> Abgschlossenheit
> > gegenüber der Addition klar.Auch gegenüber der
> > Multiplikation ist er Abgeschlossen.
> >
> > Für [mm]x\in U_1[/mm] und [mm]y\in U_2[/mm] habe ich bei der additiven
> > Abgeschlossenheit zwischen [mm]U_1\subset U_2[/mm] und
> > [mm]U_1\not\subset U_2[/mm] unterschieden.
>
> > Für Ersteres folgerte ich die Abgeschlossenheit aus derer
> > von [mm]U_2.[/mm]
>
>
> Das interessierte Marcel ja überhaupt nicht, da er von
> [mm]U_1,U_2\not=V[/mm] ausging und in diesem Fall ja eh [mm]U_1\cup U_2\not=V[/mm]
> ist.
Hallo,
das, was Deiner Meinung nach "ja eh" gilt, ist aber genau die Behauptung, die zu zeigen wäre.
> Deshalb hat er ja auch keine Fallunterscheidung
> gebraucht.
>
>
> Für Zweiteres betrachtete ich [mm]U_1\cup U_2[/mm] ohne
> > [mm]U_2\cap U_1.[/mm] Dann sind es doch komplett verschiedene Mengen
> > mit verschiedenen Elementen
Was meinst Du mit "es"?
> und die Summe(x+y) kann doch
> > nie in einer der beiden liegen. Geometrisch habe ich mir
> > das z.B. mithilfen von Geraden mit Durchstoß der Ebene
> > veranschaulicht.
??? Was ist in Deiner geometrischen Üerlegung [mm] U_1, [/mm] was [mm] U_2, [/mm] und was genau hast Du Dir überlegt?
>
> Das wäre doch in groben Zügen der Wiederspruch, oder?
Naja... Richtig ist, daß man für [mm] (U_1\not\subseteq U_2 [/mm] und [mm] U_2\not\subseteq U_1) [/mm] zeigen kann, daß die Summe [mm] u_1+u_2 [/mm] mit [mm] x_i\in [/mm] V \ [mm] U_i [/mm] in keinem der [mm] V_i [/mm] liegt, was en Widerspruch zu [mm] V=U_1\cup U_2 [/mm] ist.
Dies könntest Du versuchen zu zeigen.
Fahrplan:
Voraussetzung: [mm] V=U_1\cup U_2
[/mm]
hieraus zu zeigen: [mm] U_1=V [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] =V
Bew. mit Fallunterscheidung:
1. [mm] U_1\subset U_2 [/mm] oder [mm] U_2\subset U_1
[/mm]
2. [mm] U_1\not\subset U_2 [/mm] und [mm] U_2\not\subset U_1
[/mm]
Gruß v. Angela
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Hallo!
Danke für deine Antwort!
> > Das interessierte Marcel ja überhaupt nicht, da er von
> > [mm]U_1,U_2\not=V[/mm] ausging und in diesem Fall ja eh [mm]U_1\cup U_2\not=V[/mm]
> > ist.
>
> Hallo,
>
> das, was Deiner Meinung nach "ja eh" gilt, ist aber genau
> die Behauptung, die zu zeigen wäre.
Ich meinte dabei im Fall [mm] U_1\subset U_2 [/mm] bzw. [mm] U_2\subset U_1.( [/mm] Da ist es ja wirklich leicht einzusehen)
Aber der Kommentar den ich hier gegeben habe spielt für meinen Ansatz ja keine Rolle.
> > Deshalb hat er ja auch keine Fallunterscheidung
> > gebraucht.
> >
> >
> > Für Zweiteres betrachtete ich [mm]U_1\cup U_2[/mm] ohne
> > > [mm]U_2\cap U_1.[/mm] Dann sind es doch komplett verschiedene Mengen
> > > mit verschiedenen Elementen
>
> Was meinst Du mit "es"?
Ich dachte dabei an [mm] U_2/(U_1\cap U_2) [/mm] und [mm] U_1/(U_1\cap U_2).
[/mm]
> > und die Summe(x+y) kann doch
> > > nie in einer der beiden liegen. Geometrisch habe ich mir
> > > das z.B. mithilfen von Geraden mit Durchstoß der Ebene
> > > veranschaulicht.
>
> ??? Was ist in Deiner geometrischen Üerlegung [mm]U_1,[/mm] was
> [mm]U_2,[/mm] und was genau hast Du Dir überlegt?
>
> >
> > Das wäre doch in groben Zügen der Wiederspruch, oder?
>
> Naja... Richtig ist, daß man für [mm](U_1\not/subseteq U_2[/mm]
> und [mm]U_2\not/subseteq U_1)[/mm] zeigen kann, daß die Summe
> [mm]u_1+u_2[/mm] mit [mm]x_i\in[/mm] V \ [mm]U_i[/mm] in keinem der [mm]V_i[/mm] liegt, was en
> Widerspruch zu [mm]V=U_1\cup U_2[/mm] ist.
>
> Dies könntest Du versuchen zu zeigen.
>
> Fahrplan:
>
> Voraussetzung: [mm]V=U_1\cup U_2[/mm]
> hieraus zu zeigen: [mm]U_1=V[/mm] oder
> [mm]U_2[/mm] =V
>
> Bew. mit Fallunterscheidung:
> 1. [mm]U_1\subset U_2[/mm] oder [mm]U_2\subset U_1[/mm]
> 2. [mm]U_1\not\subset U_2[/mm]
> und [mm]U_2\not\subset U_1[/mm]
Jetzt bin ich aber froh das die Grundlegende Idee doch nicht verkehrt war!
Ich versuche das alles nochmal sauber hinzuschreiben da ich gesehen habe das ich mich öfter schwammig ausgedrückt habe:
Voraussetzung: [mm] U_1\cup U_2=V
[/mm]
[mm] Behauptung:U_1=V [/mm] oder [mm] U_2=V
[/mm]
1. [mm] U_1\subset U_2 [/mm] und [mm] U_2\subset U_1
[/mm]
In diesem Fall ist [mm] U_1\cup U_2 [/mm] Abgeschlossen gegenüber Addition und Multiplikation was aus der Abgeschlossenheit von [mm] U_2 [/mm] bzw. [mm] U_1 [/mm] folgt. Auch die 0 ist enthalten. Daraus folgt das in diesem Fall [mm] U_1\cup U_2 [/mm] ein Vektorraum ist. Da aber [mm] U_1\subset U_2 [/mm] bzw. [mm] U_2\subset U_1 [/mm] kann [mm] U_1\cup U_2=V [/mm] nur gelten wenn entweder [mm] U_2=V [/mm] oder [mm] U_1=V.
[/mm]
2. [mm] U_1\not\subset U_2 [/mm] und [mm] U_2\not\subset U_1
[/mm]
In diesem Fall enthält [mm] U_1\cup U_2 [/mm] die 0 und ist aufgrund der multiplikativen Abgeschlossenheit von [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] auch multiplikativ abgeschlossen. Es bleibt die additive Abgeschlossenheit zu überprüfen:
Im Falle [mm] x,y\in U_1 [/mm] oder [mm] x,y\in U_2 [/mm] folgt die additive Abgeschlossenheit aus der des betreffenden UVR.
Im Falle [mm] x\in U_1 [/mm] und [mm] y\in U_2 [/mm] betrachte ich nur x [mm] \in U_1/(U_1\cap U_2 [/mm] ) und y [mm] \in U_2/(U_1\cap U_2 [/mm] ) und sehe, dass aufgrund der Verschiedenheit der beiden Mengen [mm] U_1/(U_1\cap U_2 [/mm] ) und [mm] U_2/(U_1\cap U_2 [/mm] ) die Summe von x und y nie in [mm] U_1 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] liegen kann.(Kann man das einfach so dahinstellen?Diesen Sachverhalt habe ich mir durch den Durchstoß von [mm] (U_1-Gerade) [/mm] und [mm] (U_2-Ebene) [/mm] und anderer Möglichkeiten veranschaulicht wobei das nur für mich und nicht für den Beweis selbst von Nutzen war. )
Somit wäre in diesem Fall [mm] U_1\cup U_2 [/mm] gar kein Vektorraum da er nicht additiv abgeschlossen ist. Das war meine Intention! Also kommt nur Fall 1 in Frage aus dem die Behauptung folgt.
Das wäre jetzt genau mein ursprünglicher Beweis in annehmbarer Form(Hoffe ich)!
Deine ldee habe ich wegen der missglückten Formeln nicht ganz verstanden.
Gruß
Rishi
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> > Dies könntest Du versuchen zu zeigen.
> >
> > Fahrplan:
> >
> > Voraussetzung: [mm]V=U_1\cup U_2[/mm]
> > hieraus zu zeigen: [mm]U_1=V[/mm]
> oder
> > [mm]U_2[/mm] =V
> >
> > Bew. mit Fallunterscheidung:
> > 1. [mm]U_1\subset U_2[/mm] oder [mm]U_2\subset U_1[/mm]
> > 2.
> [mm]U_1\not\subset U_2[/mm]
> > und [mm]U_2\not\subset U_1[/mm]
>
> Jetzt bin ich aber froh das die Grundlegende Idee doch
> nicht verkehrt war!
>
> Ich versuche das alles nochmal sauber hinzuschreiben da ich
> gesehen habe das ich mich öfter schwammig ausgedrückt
> habe:
>
> Voraussetzung: [mm]U_1\cup U_2=V[/mm]
> [mm]Behauptung:U_1=V[/mm] oder [mm]U_2=V[/mm]
>
> 1. [mm]U_1\subset U_2[/mm] und [mm]U_2\subset U_1[/mm]
>
> In diesem Fall ist [mm]U_1\cup U_2[/mm] Abgeschlossen gegenüber
> Addition und Multiplikation was aus der Abgeschlossenheit
> von [mm]U_2[/mm] bzw. [mm]U_1[/mm] folgt. Auch die 0 ist enthalten. Daraus
> folgt das in diesem Fall [mm]U_1\cup U_2[/mm] ein Vektorraum ist.
> Da aber [mm]U_1\subset U_2[/mm] bzw. [mm]U_2\subset U_1[/mm] kann [mm]U_1\cup U_2=V[/mm]
> nur gelten wenn entweder [mm]U_2=V[/mm] oder [mm]U_1=V.[/mm]
Hallo,
was Du hier tust, ist nicht falsch, aber es ist unglaublich langatmig. Wenn man [mm] U_1\subseteq U_2 [/mm] hat, ist [mm] V=U_1\cup U_2=U_2, [/mm] und damit ist man fertig. Man braucht gar keine VRe dazu.
> 2. [mm]U_1\not\subset U_2[/mm] und [mm]U_2\not\subset U_1[/mm]
>
> In diesem Fall enthält [mm]U_1\cup U_2[/mm] die 0 und ist aufgrund
> der multiplikativen Abgeschlossenheit von [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] auch
> multiplikativ abgeschlossen. Es bleibt die additive
> Abgeschlossenheit zu überprüfen:
> Im Falle [mm]x,y\in U_1[/mm] oder [mm]x,y\in U_2[/mm] folgt die additive
> Abgeschlossenheit aus der des betreffenden UVR.
> Im Falle [mm]x\in U_1[/mm] und [mm]y\in U_2[/mm] betrachte ich nur x [mm]\in U_1/(U_1\cap U_2[/mm]
> ) und y [mm]\in U_2/(U_1\cap U_2[/mm] ) und sehe, dass aufgrund der
> Verschiedenheit der beiden Mengen [mm]U_1/(U_1\cap U_2[/mm] ) und
> [mm]U_2/(U_1\cap U_2[/mm] ) die Summe von x und y nie in [mm]U_1[/mm] oder
> [mm]U_2[/mm] liegen kann.
Hier schilderst Du den Weg, auf welchem man zu einer Beweisidee gelangen kann.
Extrahieren wir das Wesentliche heraus, so lautet die Erkenntnis:
man muß nun vorrechnen, daß für [mm] x\in U_1 [/mm] \ [mm] U_2 [/mm] und [mm] y\in U_2 [/mm] \ U_1die Annahme, daß x+y in [mm] U_1\cup U_2 [/mm] liegt, zum Widerspruch führt.
>und sehe, dass aufgrund der
> Verschiedenheit der beiden Mengen [mm]U_1/(U_1\cap U_2[/mm] ) und
> [mm]U_2/(U_1\cap U_2[/mm] ) die Summe von x und y nie in [mm]U_1[/mm] oder
> [mm]U_2[/mm] liegen kann.
> (Kann man das einfach so
> dahinstellen?
Nein. Genau dies ist es, was Du beweisen mußt.
Nimm an, daß die Summe in [mm] U_1\cup U_2 [/mm] liegt und führe dies zu einem Widerspruch.
Gruß v. Angela
Diesen Sachverhalt habe ich mir durch den
> Durchstoß von [mm](U_1-Gerade)[/mm] und [mm](U_2-Ebene)[/mm] und anderer
> Möglichkeiten veranschaulicht wobei das nur für mich und
> nicht für den Beweis selbst von Nutzen war. )
>
> Somit wäre in diesem Fall [mm]U_1\cup U_2[/mm] gar kein Vektorraum
> da er nicht additiv abgeschlossen ist. Das war meine
> Intention! Also kommt nur Fall 1 in Frage aus dem die
> Behauptung folgt.
>
> Das wäre jetzt genau mein ursprünglicher Beweis in
> annehmbarer Form(Hoffe ich)!
>
>
> Deine ldee habe ich wegen der missglückten Formeln nicht
> ganz verstanden.
>
> Gruß
>
> Rishi
>
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Hallo zum (hoffenlich) letzen mal bei diesem Problem!
Entschuldigt die lange Verzögerung...Hatte keine Zeit mich mit dem Problem zu beschäftigen aber ich gebe nicht auf!
> Hier schilderst Du den Weg, auf welchem man zu einer
> Beweisidee gelangen kann.
> Extrahieren wir das Wesentliche heraus, so lautet die
> Erkenntnis:
> man muß nun vorrechnen, daß für [mm]x\in U_1[/mm] \ [mm]U_2[/mm] und [mm]y\in U_2[/mm]
> \ U_1die Annahme, daß x+y in [mm]U_1\cup U_2[/mm] liegt, zum
> Widerspruch führt.
Jetzt sehe ich das ein. Manchmal bin ich so überzeugt von meinen Behauptungen wenn ich mir sie räumlich vorstelle, dass ich glaube, ich brauche sie gar nicht beweisen.
Ich habe mich noch mal hingesetzt und ich hatte (glaub ich) die Erleuchtung. Es kommt mir plötzlich so einfach vor dass ich nicht verstehe warum ich nicht sofort draufgekommen bin:
Also nochmal Fall 2:
[mm] U_1\not\subset U_2 [/mm] oder [mm] U_2\not\subset U_1
[/mm]
[mm] U_1\cup U_2 [/mm] enthält 0....blabla( wie gehabt)
Dann die add. Abgeschlossenheit für [mm] x\in U_1/U_2, y\in U_2/U_1. [/mm] Würde [mm] x+y\in U_1\cup U_2 [/mm] sein würde entweder [mm] x+y\in U_1 [/mm] oder [mm] x+y\in U_2 [/mm] oder beides gelten.
Gilt [mm] x+y=z\in U_1 [/mm] so folgt [mm] z+(-x)=y\in U_2/U_1. [/mm] Weil aber z und das Inverse von x in [mm] U_1 [/mm] liegen wäre das ein Wiederspruch zur add. Abgeschlossenheit von [mm] U_1. [/mm] (Das selbe für [mm] x+y=z\in U_2)
[/mm]
Da x+y weder in [mm] U_1 [/mm] noch in [mm] U_2 [/mm] liegt ist auch [mm] U_2\cup U_1 [/mm] nicht add. Abgeschlossen also kein VR und deshalb kommt nur Fall 1. in Frage, der die Behauptung bestätigt.
Hoffe das stimmt jetzt...
Wenn schon war die Anfangsidee ja doch nicht so übel. Aber es geht wahrscheinlich auch einfacher oder?
Vielen Dank für eure kostbaren Ratschläge!
Gruß
Angelika
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Hallo,,
> Also nochmal Fall 2:
>
> [mm]U_1\not\subset U_2[/mm] oder [”]und[/s] [mm]U_2\not\subset U_1[/mm]
>
> [mm]U_1\cup U_2[/mm] enthält 0....blabla( wie gehabt)
Dies Zeile kannst Du Dir komplett sparen.
> Dann die add. Abgeschlossenheit
von V.
Seien
> [mm]x\in U_1/U_2, y\in U_2/U_1.[/mm]
> Würde [mm]x+y\in U_1\cup U_2[/mm] sein würde entweder [mm]x+y\in U_1[/mm]
> oder [mm]x+y\in U_2[/mm] oder beides gelten.
>
> Gilt [mm]x+y=z\in U_1[/mm] so folgt [mm]z+(-x)=y\in U_2/U_1.[/mm]
> Weil aber z ,
x und damit auch
> und das Inverse von x in [mm]U_1[/mm] liegen
wäre y gleichzeitig in [mm] U_2 [/mm] und in [mm] U_1. [/mm] Es ist aber y\ in [mm] U_2 [/mm] / [mm] U_1 [/mm] . Widerspruch.
> (Das selbe
> für [mm]x+y=z\in U_2)[/mm]
> Da x+y weder in [mm]U_1[/mm] noch in [mm]U_2[/mm] liegt
> ist auch [mm]U_2\cup U_1[/mm] nicht add. Abgeschlossen also kein VR
> und deshalb kommt nur Fall 1. in Frage, der die Behauptung
> bestätigt.
>
>
> Hoffe das stimmt jetzt...
>
> Wenn schon war die Anfangsidee ja doch nicht so übel. Aber
> es geht wahrscheinlich auch einfacher oder?
Das ist schon in Ordnung so.
Gruß v. Angela
>
>
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