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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:51 So 21.10.2007 | | Autor: | klaus_84 |
| Aufgabe | Man zeige, dass für Untergruppen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] einer additiven, abel'schen Gruppe G auch [mm] U_1 \cap U_2 [/mm] und [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] Untergruppen von G sind.
Lässt sich Ähnliches für [mm] U_1 \cup U_2? [/mm] Was passiert, wenn die Bedingung "abel'sch" wegfällt? |
Hallo,
Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass der Durchschnitt beliebiger Untergruppen wieder eine Untergruppe ist. Das wäre natürlich ein sehr einfacher Beweis.
Ich würd's aber gern noch mal herleiten, komme aber nicht so recht voran.
Heißt [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] = [mm] U_1 \cup U_2 [/mm] \ [mm] U_1 \cap U_2?
[/mm]
Viele Grüße, klaus.
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> Man zeige, dass für Untergruppen [mm]U_1[/mm] und [mm]U_2[/mm] einer
> additiven, abel'schen Gruppe G auch [mm]U_1 \cap U_2[/mm] und [mm]U_1[/mm] +
> [mm]U_2[/mm] Untergruppen von G sind.
> Lässt sich Ähnliches für [mm]U_1 \cup U_2?[/mm] Was passiert, wenn
> die Bedingung "abel'sch" wegfällt?
> Hallo,
> Wir hatten in der Vorlesung den Satz, dass der
> Durchschnitt beliebiger Untergruppen wieder eine
> Untergruppe ist. Das wäre natürlich ein sehr einfacher
> Beweis.
>
> Ich würd's aber gern noch mal herleiten, komme aber nicht
> so recht voran.
Hallo,
hier kannst Du ja Deine Vorlesungsmitschrift um Rat fragen - oder auch uns. Dazu müßtest Du uns aber sagen, wie weit Du gekommen bist.
Ich vermute ja fast, daß Ihr das in der Vorlesung für endl. Durchschnitte gezeigt habt, so daß Du das nur auf den Fall n=2 übertragen müßtest.
> Heißt [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] = [mm]U_1 \cup U_2[/mm] \ [mm]U_1 \cap U_2?[/mm]
[mm] U_1+U_2:=\{u_1+u_2| u_1\in U_1 und u_2\in U_2\}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:36 So 21.10.2007 | | Autor: | klaus_84 |
Danke erstmal.
Satz:
Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen [mm] U_i [/mm] einer Gruppe G ist wieder eine Untergruppe von G.
n = 2
[mm] U_1 \cap U_2 \not= \emptyset, [/mm] da e [mm] \in U_i [/mm]
Anwendung des Untergruppenkriteriums:
Seien a, b [mm] \in U_1 \cap U_2.
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a, b [mm] \in U_1, [/mm] a, b [mm] \in U_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a^-1 + b = -a + b = b-a [mm] \in U_1, U_2
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a^-1 + b = -a + b = b-a [mm] \in U_1 \cap U_2
[/mm]
Die Kommuntativität spielt doch hier gar keine Rolle, oder?
Bei der Vereinigung bin ich aber noch recht ideenlos.
Und ist [mm] U_1 [/mm] + [mm] U_2 [/mm] nicht die so genannten "Symmetrische Differenz"?
Gruß, klaus.
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> Satz:
> Der Durchschnitt beliebig vieler Untergruppen [mm]U_i[/mm] einer
> Gruppe G ist wieder eine Untergruppe von G.
>
> n = 2
>
> [mm]U_1 \cap U_2 \not= \emptyset,[/mm] da e [mm]\in U_i[/mm]
> Anwendung des Untergruppenkriteriums:
>
> Seien a, b [mm]\in U_1 \cap U_2.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a, b [mm]\in U_1,[/mm] a,
> b [mm]\in U_2[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a^-1 + b = -a + b = b-a [mm]\in U_1, U_2[/mm]
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] a^-1 + b = -a + b = b-a [mm]\in U_1 \cap U_2[/mm]
Hallo,
im Prinzip ist das, was Du tust, richtig.
Ein paar kleine Anmerkungen.
Es ist üblich, bei multiplikativen Gruppen das inverse Element [mm] a^{-1} [/mm] zu nennen und bei additiven -a.
Um Dich nicht selbst zu verwirren, solltest Du Dich unbedingt daran halten.
Du schreibst "b-a". Ich habe da allergrößte Bedenken... Du hantierst mit Gruppen. Es gibt dort keine Subtraktion, die Verknüpfung, die auf der Gruppe definiert ist, ist +.
(Nun kann es sein, daß Ihr im Vorfeld irgendwie eine Subtraktion erklärt habt, dann darfst Du es so machen - aber sei vorsichtig: daß Du eine Subtraktion auf [mm] \IZ [/mm] erklärt hast, reicht nicht für diese Aufgabe.)
> n = 2
>
> [mm]U_1 \cap U_2 \not= \emptyset,[/mm] da e [mm]\in U_i[/mm]
Sehr gut, daß Du daran denkst!
> Anwendung des Untergruppenkriteriums:
>
> Seien a, b [mm]\in U_1 \cap U_2.[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a, b [mm]\in U_1,[/mm] a,
> b [mm]\in U_2[/mm]
Weil [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] nach Voraussetzung Untergruppen von G sind, liegt mit b auch sein Inverses -b in diesen Untergruppen und es gilt folglich [mm] a+(-b)\in U_1 [/mm] und [mm] a+(-b)\in U_2.
[/mm]
Also ist [mm] -b\in U_1\cap U_2 [/mm] und [mm] a+(-b)\in U_1\cap U_2, [/mm] also ist [mm] U_1\cap U_2 [/mm] Untergruppe von G.
Achte bei dem, as ich geschrieben habe auf die Begründungen. Sie fußen immer auf der Voraussetzung, darauf, daß [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] Untergruppen von G sind.
> Die Kommuntativität spielt doch hier gar keine Rolle,
> oder?
Nein.
> Bei der Vereinigung bin ich aber noch recht ideenlos.
Da mußt Du nach einen Gegenbeispiel suchen. Experimentiere mal ein bißchen mit Dir bekannten Gruppen, ich weiß ja nicht, was Du so im Schatzkästchen hast. Die Restklassen vielleicht?
> Und ist [mm]U_1[/mm] + [mm]U_2[/mm] nicht die so genannten "Symmetrische
> Differenz"?
Nein, wie kommst Du darauf?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:32 So 21.10.2007 | | Autor: | klaus_84 |
Danke für die Hinweise zum Aufschreiben ... sonst hätte es wohl Abzug gegeben.
Restklasse modulo 5, d.h. der Rest bei der Division durch 5.
G = ( e=0, 1, 2, 3, 4)
U1 = (0)
U2 = (0, 2, 3)
U1 [mm] \cup [/mm] U2 sei eine UG. Dann müsste [mm] \forall [/mm] a, b [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2 gelten:
(-a) + b [mm] \in [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2.
Gegenbeispiel: Sei b = 3, a = 2. [mm] \Rightarrow [/mm] (-a) = 3.
(-a) + b = b + (-a) = 3 + 3 = 1 [mm] \not\in [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2.
[mm] \Rightarrow [/mm] U1 [mm] \cup [/mm] U2 ist keine UG.
Korrekt?
Das mit der symmetrischen Differenz habe ich aus Gernot Stroths "Lineare Algebra", S.62 unten.
"Sei M eine Menge, P(M) die Potenzmenge von M. Für A, B [mm] \in [/mm] P(M) setze
A + B = (A [mm] \cup [/mm] B) / (A [mm] \cap [/mm] B). Man nennt diese Verknüpfung auch symmetrische Differenz."
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> Danke für die Hinweise zum Aufschreiben ... sonst hätte es
> wohl Abzug gegeben.
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> Restklasse modulo 5, d.h. der Rest bei der Division durch
> 5.
> G = ( e=0, 1, 2, 3, 4)
> U1 = (0)
> U2 = (0, 2, 3)
>
> U1 [mm]\cup[/mm] U2 sei eine UG. Dann müsste [mm]\forall[/mm] a, b [mm]\in[/mm] U1
> [mm]\cup[/mm] U2 gelten:
> (-a) + b [mm]\in[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2.
>
> Gegenbeispiel: Sei b = 3, a = 2. [mm]\Rightarrow[/mm] (-a) = 3.
> (-a) + b = b + (-a) = 3 + 3 = 1 [mm]\not\in[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2.
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] U1 [mm]\cup[/mm] U2 ist keine UG.
>
> Korrekt?
Hallo,
Dein Gegenbeispiel hat einen gar entsetzlichen Fehler an der Wurzel: U2 = (0, 2, 3) ist keine Untergruppe...
In jeder Untergruppe, welch 2 enthält, muß auch 2+2 enthalten sein und 2+2+2.
Aber Du bist auf einem Guten Weg.
Nimm doch mal die Restklasse modulo 6.
Und dann einmal die Untergruppe, die aus den Vielfachen von 2 besteht und die Untergruppe, die aus den Vielfachen von 2 besteht.
Gruß v. Angela
> Das mit der symmetrischen Differenz habe ich aus Gernot
> Stroths "Lineare Algebra", S.62 unten.
>
> "Sei M eine Menge, P(M) die Potenzmenge von M. Für A, B [mm]\in[/mm]
> P(M) setze
> A + B = (A [mm]\cup[/mm] B) / (A [mm]\cap[/mm] B). Man nennt diese
> Verknüpfung auch symmetrische Differenz."
Ja, in der Mengenlehre schreibt man machmal so.
Aber wenn man es mit Gruppen oder auch Vektorräumen zu tun hat, ist die Summe definiert, wie ich es getan habe. Schau mal in den Unterlagen nach, die zu Deiner Vorlesung passen.
(Bei der symmetrischen Differenz wärst Du übrigens fertig, bevor Du angefangen hättest, weil das neutrale Element nicht drin läge.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:19 So 21.10.2007 | | Autor: | klaus_84 |
Danke, Du hast vollkommen recht.
Die einfachste Gruppeneigenschaft aus den Augen verloren.
Vielen, viele Dank und einen schönen Tag noch ... so langsam bin ich in dem "Gruppen-Denken" drin.
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