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| Aufgabe | | Sei [mm] $\mathcal{V}$ [/mm] ein $K$-Vektorraum mit Teilräumen [mm] $\mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}$. [/mm] Man zeige: [mm] $\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}$ [/mm] genau dann wenn [mm] $\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2$ [/mm] oder [mm] $\mathcal{T}_2 \subseteq \mathcal{T}_1$ [/mm] |
o.k. die Rückrichtung ist klar:
"<=": Sei oBdA [mm] $\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2$, [/mm] dann ist [mm] $\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 [/mm] = [mm] \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}$ [/mm] ein UVR nach Voraussetzung.
"=>:" Hier hakts irgendwie. Ich weiss ja eigentlioch nur wenn [mm] $\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}$, [/mm] dass
[mm] $$\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \neq \emptyset$$
[/mm]
und dass aus
$$X,Y [mm] \; \in \; \mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2$$
[/mm]
folgt
$$aX+bY [mm] \; \in \; \mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2$$ [/mm] mit a,b [mm] \in [/mm] K
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Hallo NightareVirus,
> Sei [mm]\mathcal{V}[/mm] ein [mm]K[/mm]-Vektorraum mit Teilräumen
> [mm]\mathcal{T}_1, \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}[/mm]. Man zeige:
> [mm]\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}[/mm] genau
> dann wenn [mm]\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2[/mm] oder
> [mm]\mathcal{T}_2 \subseteq \mathcal{T}_1[/mm]
> o.k. die
> Rückrichtung ist klar:
> "<=": Sei oBdA [mm]\mathcal{T}_1 \subseteq \mathcal{T}_2[/mm], dann
> ist [mm]\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 = \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}[/mm]
> ein UVR nach Voraussetzung. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ja, das ist die einfachere Richtung 
>
> "=>:" Hier hakts irgendwie. Ich weiss ja eigentlioch nur
> wenn [mm]\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \leq \mathcal{V}[/mm],
> dass
> [mm]\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2 \neq \emptyset[/mm]
> und dass
> aus
> [mm]X,Y \; \in \; \mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2[/mm]
> folgt
> [mm]aX+bY \; \in \; \mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2[/mm] mit a,b
> [mm]\in[/mm] K
Vor. [mm] $\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2\le\mathcal{V}$
[/mm]
Gelte weiter [mm] $(\star) [/mm] \ [mm] \mathcal{T}_1 \not\subseteq \mathcal{T}_2$
[/mm]
Dann ist zu zeigen, dass gilt: [mm] $\mathcal{T}_2 \subseteq \mathcal{T}_1$
[/mm]
Wegen [mm] $(\star)$ [/mm] ex. [mm] $t\in\mathcal{T}_1$ [/mm] mit [mm] $t\notin\mathcal{T}_2$
[/mm]
Nun ist zu zeigen, dass jedes [mm] $w\in\mathcal{T}_2$ [/mm] auch in [mm] $\mathcal{T}_1$ [/mm] liegt (damit wäre [mm] $\mathcal{T}_2 \subseteq \mathcal{T}_1$ [/mm] wie gewünscht)
Dazu betrachte mal $t+w$
Das liegt in [mm] $\mathcal{T}_1 \cup \mathcal{T}_2$ [/mm] (warum?)
Daraus folgt ....
Reicht's soweit?
Gruß
schachuzipus
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