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| Aufgabe | Sei A ein Ring.
1) Seien [mm] \alpha \subseteq [/mm] A Ideal und p1,p2 [mm] \subseteq [/mm] A Primideale mit [mm] \alpha \subseteq [/mm] p1 [mm] \cup [/mm] p2. Zeige, dass dann entweder [mm] \alpha \subseteq [/mm] p1 oder [mm] \subseteq [/mm] p2
2) Zeigen Sie, dass 1) im Allgemeinen falsch ist für beliebige Ideale p1,p2 |
hallo. ich finde bei beiden leider keinen ansatz. hat jemand einen tipp bzw. eine lösung??? vielen dank im vorraus...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:24 Mo 03.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei A ein Ring.
> 1) Seien [mm]\alpha \subseteq[/mm] A Ideal und p1,p2 [mm]\subseteq[/mm] A
> Primideale mit [mm]\alpha \subseteq[/mm] p1 [mm]\cup[/mm] p2. Zeige, dass
> dann entweder [mm]\alpha \subseteq[/mm] p1 oder [mm]\subseteq[/mm] p2
Das gilt uebrigens auch fuer Vereinigungen von endlich vielen Primidealen.
> 2) Zeigen Sie, dass 1) im Allgemeinen falsch ist für
> beliebige Ideale p1,p2
>
> hallo. ich finde bei beiden leider keinen ansatz. hat
> jemand einen tipp bzw. eine lösung??? vielen dank im
> vorraus...
Zu (1):
Die Faelle [mm] $p_1 \subseteq p_2$ [/mm] und [mm] $p_2 \subseteq p_1$ [/mm] kannst du erstmal ausschliessen.
Mach doch einen Widerspruchsbeweis. Wenn [mm] $\alpha$ [/mm] weder in [mm] $p_1$ [/mm] noch in [mm] $p_2$ [/mm] enthalten ist, dann gibt es jeweils ein Element, welches in [mm] $\alpha$ [/mm] liegt, aber nicht in [mm] $p_i$, [/mm] $i = 1, 2$. Und es gibt jeweils ein Element, welches in [mm] $p_i$ [/mm] liegt, aber nicht in [mm] $p_j$, [/mm] $j [mm] \neq [/mm] i$.
Das kombiniere jetzt zu zwei Elementen, welche in [mm] $(\alpha \cap p_i) \setminus p_j$ [/mm] liegen, $j [mm] \neq [/mm] i$, und das wiederum zu einem Element, welches in [mm] $\alpha$, [/mm] aber in keinem der [mm] $p_i$ [/mm] enthalten ist -- das ist dann der Widerspruch.
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:56 Di 04.12.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Sei A ein Ring.
> 1) Seien [mm]\alpha \subseteq[/mm] A Ideal und p1,p2 [mm]\subseteq[/mm] A
> Primideale mit [mm]\alpha \subseteq[/mm] p1 [mm]\cup[/mm] p2. Zeige, dass
> dann entweder [mm]\alpha \subseteq[/mm] p1 oder [mm]\subseteq[/mm] p2
> 2) Zeigen Sie, dass 1) im Allgemeinen falsch ist für
> beliebige Ideale p1,p2
Aussage 2) ist falsch, a) gilt naemlich fuer beliebige Ideale. Aussage 2) stimmt erst, wenn man Aussage 1) fuer endlich viele Primideale formuliert (mit mehr als zweien!).
Die Beweisskizze aus meiner alten Antwort benoetigt naemlich (bei zwei Faktoren) gar nicht, dass [mm] $p_1$ [/mm] und [mm] $p_2$ [/mm] Primideale sind.
LG Felix
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