Vereinigung von Potenzmengen < axiomatisch < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:55 Mi 21.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie:
Die Vereinigung der Potenzmenge einer Menge A ist die Menge A |
Hallo,
dies ist mein erster Beitrag hier weil ich momentan ziemlich verzweifle an einer Aufgabe.
Ich muss zu meiner Verteidigung sagen, dass ich Mathematik erst seit knapp 3 Wochen studiere.
Hier die Aufgabe:
Sei A eine Menge.
Beweise/widerlege, dass die Vereinigung der Potenzmenge von A gleich A ist.
P(A) soll die Potenzmenge von A darstellen.
[mm] \cup_P_(_A_) [/mm] = A
Intuitiv würde ich sagen, das stimmt. Ich habe schon mehrere Beispiele durchprobiert, es hat immer geklappt.
Es happert jetzt an dem allgemeinen Beweis. Ich habe versucht über das Vereinigungsaxiom und das Potenzmengenaxiom nach ZF irgendwie eine Aussage zu kreieren, die sagt das die besagte Vereinigung äquivalent zu A ist.
Mein Problem ist, dass ich es nicht schaffe die notwendigen Junktoren/Quantoren richtig umzuformen. Eigentlich weiß ich nicht mal was am Ende da stehen muss, damit es bewiesen ist.
Deshalb möchte ich euch fragen, wie ihr diese Aufgabe angehen würdet und ob es irgendwelche Tricks/Tipps gibt um die Axiome umzuformen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
LG,
Manu271
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:23 Mi 21.10.2015 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
Tobi führt das sicher noch sauber aus, aber ich mache es mal in Worten mit
naiver Mengenlehre:
Jedes Element aus einem Element der Potenzmenge (anders gesagt: Jedes
Element einer Teilmenge) der Ausgangsmenge ist selbst ein Element der
Ausgangsmenge. Daher kann "die erwähnte Vereinigung" nur Teilmenge der
Ausgangsmenge sein.
Umgekehrt gehört aber auch die Menge selbst zu ihrer Potenzmenge. Daraus
folgt, dass diese Vereinigung *größergleich* der Ausgangsmenge sein muss.
(*Größergleich* im mengentheoretischen Sinne; es ist etwas salopp gesagt,
daher frag' notfalls nochmal nach.)
Die Ausgangsmenge enthält also die erwähnte Vereinigung und ist selbst
Teil dieser, also kommt da das gleiche raus.
Konkret abstraktes Beispiel (  ): [mm] $M=\{r,s,t\}$.
[/mm]
Sei nun $P:=P(M)$. Dann gilt:
Für jedes $X [mm] \in [/mm] P$ gilt: Entweder ist [mm] $X=\{\}$, [/mm] oder (mindestens) eines der
Elemente (nur) aus der Menge [mm] $\{r,s,t\}$ [/mm] ist in [mm] $X\,.$ [/mm] (D.h. auch: *keine anderen*.)
Daher: [mm] $\bigcup [/mm] P(M) [mm] \subseteq M\,.$
[/mm]
Wegen $M [mm] \in [/mm] P(M)$ ist aber $M [mm] \subseteq \bigcup [/mm] P$.
Insgesamt $M [mm] \subseteq \bigcup [/mm] P(M) [mm] \subseteq [/mm] M$. Daraus folgt *Gleichheit*.
Nebenbei, nur, dass da keine Verwechslungen auftreten:
[mm] $\bigcup P(M):=\{x: \exists X \in P(M) \text{ mit }x \in X\}\,.$
[/mm]
Hier vereinigt man über ein "Mengensystem". Beachte diese Definition; oft
scheitert es da schon an Missverständnissen!
(Nochmal zur Deutlichkeit: $A [mm] \cup [/mm] B$ kann man also auch schreiben als [mm] $\bigcup \{A,B\}\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:30 Mi 21.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Manu271 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Vorweg: Ich halte es für ziemlich gewagt von deinem/r Dozenten/in, Studienanfänger in Axiomatische Mengenlehre statt in naive Mengenlehre einzuführen. Da erscheinen mir Schwierigkeiten fast zwangsläufig.
> Hier die Aufgabe:
> Sei A eine Menge.
> Beweise/widerlege, dass die Vereinigung der Potenzmenge
> von A gleich A ist.
> P(A) soll die Potenzmenge von A darstellen.
> [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] = A
>
>
> Intuitiv würde ich sagen, das stimmt. Ich habe schon
> mehrere Beispiele durchprobiert, es hat immer geklappt.
Mir gefällt deine Herangehensweise!
Hättest du eine Beispielmenge A gefunden mit [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] [mm] $\not= [/mm] A$, hättest du die Aussage aus der Aufgabenstellung schon widerlegt.
Nun bist du zu der (zutreffenden) Vermutung gekommen, dass die Aussage [mm]\cup_P_(_A_)[/mm]$ = A$ für alle Mengen $A$ gilt.
> Es happert jetzt an dem allgemeinen Beweis. Ich habe
> versucht über das Vereinigungsaxiom und das
> Potenzmengenaxiom nach ZF irgendwie eine Aussage zu
> kreieren, die sagt das die besagte Vereinigung äquivalent
> zu A ist.
Diese Axiome sichern uns ohne weitere Überlegungen, dass für jede Menge A auch [mm] $\mathcal{P}(A)$ [/mm] und damit auch [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] Mengen bilden.
Darüber hinaus benötigen wir sie für diese Aufgabe nicht.
> Mein Problem ist, dass ich es nicht schaffe die
> notwendigen Junktoren/Quantoren richtig umzuformen.
> Eigentlich weiß ich nicht mal was am Ende da stehen muss,
> damit es bewiesen ist.
>
> Deshalb möchte ich euch fragen, wie ihr diese Aufgabe
> angehen würdet und ob es irgendwelche Tricks/Tipps gibt um
> die Axiome umzuformen?
Hattet ihr schon die Überlegung, dass zwei Mengen $M$ und $N$ genau dann übereinstimmen, wenn [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ gilt? (In ZF beweist man dies mittels Extensionalitätsaxioms.)
Egal ob man nun axiomatische oder naive Mengenlehre betreibt: Um $M=N$ für gegebene Mengen $M$ und $N$ zu zeigen, ist es meist eine gute Idee, nacheinander [mm] $M\subseteq [/mm] N$ und [mm] $N\subseteq [/mm] M$ nachzuweisen.
Der Nachweis von [mm] $M\subseteq [/mm] N$ kann fast immer so geführt werden:
Sei [mm] $x\in [/mm] M$ beliebig vorgegeben. blablabla... Deshalb muss auch [mm] $x\in [/mm] N$ gelten.
(Da $x$ beliebig vorgegeben war, folgt dann [mm] $x\in [/mm] N$ für ALLE [mm] $x\in [/mm] N$ und damit [mm] $M\subseteq [/mm] N$.)
Nach diesen Vorbemerkungen zurück zur Aufgabe:
Sei nun A eine beliebig vorgegebene Menge.
Wir wollen [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] = A zeigen.
Dazu zeigen wir nacheinander
1. [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] [mm] $\subseteq [/mm] A$ und
2. [mm]\cup_P_(_A_)[/mm] [mm] $\supseteq [/mm] A $.
Zu 1.:
Sei [mm] $x\in\cup_P_(_A_)$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $x\in [/mm] A$.
Was bedeutet [mm] $x\in\cup_P_(_A_)$ [/mm] nach Definition von der Vereinigung einer Menge? (Am besten selbst überlegen, bevor du weiterliest.)
Es bedeutet, dass ein [mm] $B\in [/mm] P(A)$ existiert mit ... (Ersetze die Pünktchen durch Passendes.)
Was bedeutet [mm] $B\in [/mm] P(A)$ nach Definition der Potenzmenge einer Menge? (Am besten selbst überlegen, bevor du weiterliest.)
Es bedeutet [mm] $B\subseteq [/mm] A$ und das wiederum bedeutet ...
Kannst du nun wie gewünscht [mm] $x\in [/mm] A$ schlussfolgern?
Zu 2.:
Sei [mm] $x\in [/mm] A$.
Zu zeigen ist [mm] $x\in \cup [/mm] P(A)$.
Wir suchen also nach Definition von der Vereinigung einer Menge ein [mm] $B\in [/mm] P(A)$ mit [mm] $x\in [/mm] B$.
Wie können wir ein solches passendes B wählen?
(Falls du keine Idee hast:
- Was bedeutet [mm] $B\in [/mm] P(A)$? Was suchen wir also konkreter?
- Spiele diese Situation mal an Beispielen für A und [mm] $x\in [/mm] A$ durch.)
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Do 22.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
Hallo tobit09,
erst einmal vielen Dank für deine Antwort.
Es hat mir sehr geholfen zu wissen, wie ich anfangen muss, nämlich annehmen das $ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $
Danach habe ich alles selbst geschafft.
Hier mein vollständiger Beweis:
I)
Sei $ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $
zu zeigen: $ x [mm] \in [/mm] A $
1) $ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $ := {x | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] P(A) : x [mm] \in [/mm] B}
Nach Definition der Vereinigungsmenge gibt es ein a [mm] \in [/mm] P(A), für das gilt x [mm] \in [/mm] a.
2) Nach der Definition der Potenzmenge und der Existenz von a folgt, dass dieses a Teilmenge von A ist.
Des Weiteren wissen wir, dass x [mm] \in [/mm] a ist.
Da a [mm] \subseteq [/mm] A folgt x [mm] \in [/mm] A
II) Sei x [mm] \in [/mm] A
zu zeigen: $ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $
1) Nach der Definition der Potenzmenge ist x Element von Elementen von P(A).
P(A) :={B | B [mm] \subseteq [/mm] A }
Da B [mm] \subseteq [/mm] A und x [mm] \in [/mm] A, folgt x [mm] \in [/mm] B
2) Nach Definition der Vereinigungsmenge:
$ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $ := {x | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] P(A) : x [mm] \in [/mm] B}
Betrachtet man nun die Menge P(A) merkt man, dass es solche a gibt, nämlich B. Diese müssen die Eigenschaft x [mm] \in [/mm] B erfüllen. Dies ist durch II) 1) schon erfüllt.
->$ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $ q.e.d
Ich hoffe er ist korrekt und ich habe nicht aus Versehen zwei mal nur eine Richtung gezeigt
LG,
Manu271
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:10 Do 22.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
bei I) 1) ist mir leider ein Fehler passiert.
Die Definition der Vereinigungsmenge: Das "B" müsste durch ein "a" ersetzt werden.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:21 Do 22.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Hier mein vollständiger Beweis:
> I)
> Sei [mm]x\in\cup_P_(_A_)[/mm]
> zu zeigen: [mm]x \in A[/mm]
>
> 1) [mm]x\in\cup_P_(_A_)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$x | [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] P(A) : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
Am Ende soll es vermutlich $a$ statt $B$ heißen.
Du verwendest hier x in zweierlei Bedeutungen. Um Irritationen beim Leser zu vermeiden, verwende unterschiedliche Bezeichnungen.
> Nach Definition der Vereinigungsmenge gibt es ein a [mm]\in[/mm]
> P(A), für das gilt x [mm]\in[/mm] a.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> 2) Nach der Definition der Potenzmenge und der Existenz
> von a folgt, dass dieses a Teilmenge von A ist.
> Des Weiteren wissen wir, dass x [mm]\in[/mm] a ist.
> Da a [mm]\subseteq[/mm] A folgt x [mm]\in[/mm] A
Super!
> II) Sei x [mm]\in[/mm] A
> zu zeigen: [mm]x\in\cup_P_(_A_)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> 1) Nach der Definition der Potenzmenge ist x Element von
> Elementen von P(A).
Warum?
Wie folgt aus $x\in A$, dass x Element eines Elementes von P(A) ist?
Finde dazu ein Element $B\in P(A)$ mit $x\in B$.
> P(A) :=$\{$B | B [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A $\}$
Ja.
> Da B [mm]\subseteq[/mm] A
Was meinst du hier mit B?
> und x [mm]\in[/mm] A, folgt x [mm]\in[/mm] B
Die Folgerung wäre korrekt, wenn es [mm] $B\supseteq [/mm] A$ statt [mm] $B\subseteq [/mm] A$ hieße. So ist sie unbegründet.
> 2) Nach Definition der Vereinigungsmenge:
>
> [mm]x\in\cup_P_(_A_)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$x | [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] P(A) : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
B$\}$
(Wieder der Schreibfehler $B$ statt $a$ am Ende.)
> Betrachtet man nun die Menge P(A) merkt man, dass es solche
> a gibt, nämlich B.
Leider weiß ich immer noch nicht, welche Menge B bezeichnen soll.
> Diese müssen die Eigenschaft x [mm]\in[/mm] B
> erfüllen. Dies ist durch II) 1) schon erfüllt.
> ->[mm] x\in\cup_P_(_A_)[/mm] q.e.d
>
> Ich hoffe er ist korrekt
I) ja, II) nein.
> und ich habe nicht aus Versehen
> zwei mal nur eine Richtung gezeigt
Das nicht.
Der zentrale Punkt von II) ist:
Wir haben [mm] $x\in [/mm] A$ und müssen eine Teilmenge [mm] $B\subseteq [/mm] A$ mit [mm] $x\in [/mm] B$ finden.
Mir fallen dazu zwei naheliegende Möglichkeiten ein.
Wenn du erst einmal keine siehst, würde ich an deiner Stelle zunächst mal ein konkretes Beispiel für $A$ und [mm] $x\in [/mm] A$ betrachten.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Do 22.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
Mit B meinte ich eine Teilmenge von A.
Ich dachte eigentlich durch die Definition von P(A), sei B schon zur Genüge erklärt.
Die Menge aller B ist also die Potenzmenge von A.
Das habe ich vergessen zu definieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 22.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
Erneut vielen Dank für deine Korrektur.
Ich habe den Fehler eingesehen, dass wenn x [mm] \in [/mm] A und B [mm] \subseteq [/mm] A nicht folgt, dass x [mm] \in [/mm] B.
Wäre II) richtig wenn ich wie folgt argumentiere?:
Sei x [mm] \in [/mm] A
zu zeigen: $ [mm] x\in\cup_P_(_A_) [/mm] $
1) Sei P(A) die Potenzmenge von A mit P(A) := { B | B [mm] \subseteq [/mm] A }
B sind also die Elemente von P(A).
Nach der Definition der Potenzmenge ist P(A) die Menge aller Teilmengen von A, also beinhaltet P(A) auch A als Element, da A [mm] \subseteq [/mm] A.
Nun kann ich schlussfolgern, da x [mm] \in [/mm] A und B [mm] \supseteq [/mm] A für B=A, folgt x [mm] \in [/mm] B.
2) [mm] \cup_P_(_A_) [/mm] := { x | [mm] \exists [/mm] a [mm] \in [/mm] P(A) : x [mm] \in [/mm] a }
Betrachtet man nun die Menge P(A) fällt auf, dass es solche a gibt, nämlich die Elemente B von P(A). Diese müssen x [mm] \in [/mm] B erfüllen. Dies ist durch II) 1) schon erfüllt.
q.e.d
Ich hoffe jetzt ist jede Variable klar definiert, da tue ich mich anscheinend noch etwas schwer.
LG,
Manu271
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Do 22.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Sei x [mm]\in[/mm] A
> zu zeigen: [mm]x\in\cup_P_(_A_)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> 1) Sei P(A) die Potenzmenge von A mit P(A) := $\{$ B | B
> [mm]\subseteq[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
A $\}$
> B sind also die Elemente von P(A).
(Den letzten Satz verstehe ich nicht richtig.)
> Nach der Definition der Potenzmenge ist P(A) die Menge
> aller Teilmengen von A, also beinhaltet P(A) auch A als
> Element, da A [mm]\subseteq[/mm] A.
Genau. Das ist die entscheidende Idee.
> Nun kann ich schlussfolgern, da x [mm]\in[/mm] A und B [mm]\supseteq[/mm] A
> für B=A, folgt x [mm]\in[/mm] B.
Ich würde es so formulieren:
Für $B:=A$ gilt wegen [mm] $x\in [/mm] A$ auch [mm] $x\in [/mm] B$.
> 2) [mm]\cup_P_(_A_)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
:= $\{$ x | [mm]\exists[/mm] a [mm]\in[/mm] P(A) : x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
a $\}$
Ja.
> Betrachtet man nun die Menge P(A) fällt auf, dass es
> solche a gibt, nämlich die Elemente B von P(A). Diese
> müssen x [mm]\in[/mm] B erfüllen.
Nicht alle Elemente [mm] $B\in [/mm] P(A)$ erfüllen [mm] $x\in [/mm] B$.
Aber z.B. $B:=A$ und [mm] $B:=\{x\}$ [/mm] haben diese Eigenschaft.
> Dies ist durch II) 1) schon
> erfüllt.
>
> q.e.d
>
> Ich hoffe jetzt ist jede Variable klar definiert, da tue
> ich mich anscheinend noch etwas schwer.
Du hast alles für den Beweis notwendige bereits erwähnt.
Mein Formulierungsvorschlag:
Sei [mm] $x\in [/mm] A$ beliebig vorgegeben.
Zu zeigen ist [mm] $x\in\bigcup [/mm] P(A)$.
Wegen [mm] $A\subseteq [/mm] A$ gilt [mm] $A\in [/mm] P(A)$ nach Definition der Potenzmenge.
Aus [mm] $x\in [/mm] A$ und [mm] $A\in [/mm] P(A)$ folgt wie gewünscht [mm] $x\in\bigcup [/mm] P(A)$ nach Definition der Vereinigung einer Menge.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:18 Do 22.10.2015 | | Autor: | Manu271 |
Super!
Das freut mich, nochmals vielen Dank für deine Hilfe.
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