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| Aufgabe | Seien A,B [mm] \subseteq \IR^n [/mm] konvexe Mengen.
Zeigen Sie:
a.) A [mm] \cup [/mm] B ist i.A. nicht konvex.
b.) A [mm] \setminus [/mm] B ist i. A. nicht konvex. |
Hallo zusammen,
soll obiges beweisen und steh total auf dem Schlauch.
Also meine Idee ist folgende:
a.) zu zeigen ist ja für x,y [mm] \in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B gilt: [mm] \lambda [/mm] x + (1 - [mm] \lambda) [/mm] y [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B gilt für [mm] \lambda \in [/mm] [0,1].
Ist ja z.B. dann der Fall, wenn ich als A und B zwei Kreise habe, die disjunkt sind, also A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] .
Nun nehme ich Punkte aus A und B, also
x [mm] \in [/mm] A und y [mm] \in [/mm] B aber x [mm] \not\in [/mm] B und y [mm] \not\in [/mm] A .
Wie folgere ich nun daraus , dass [mm] \lambda [/mm] x + (1- [mm] \lambda) [/mm] y [mm] \not\in [/mm] A [mm] \cup [/mm] B ?
zu b.)
Nehme z.b. als A und B wieder zwei Kreise, die sich schneiden.
Ja keine Ahnung, vielleicht Widerspruchsbeweis?
Aber was ist der Widerspruch, der zu beweisen ist?
Danke für Hinweise.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Docy |
Hallo fussel,
deine Beweisidee ist doch völlig richtig. Du musst in diesem Fall einfach nur je ein Gegenbeispiel finden. Erstelle dir doch einfach mal 2 Kreise in der Ebene (im [mm] \IR^{n} [/mm] funktioniert das Ganze dann auch, indem man für die weiteren Dimensionen 0en einfügt). Am besten mit konkreten Werten für Radius und Mittelpunkt, wie beispielsweise Kreis A mit Mittelpunkt (1,0) und Radius 1 und Kreis B mit Mittelpunkt (4,0) und Radius 1, dann ist für [mm] \lambda= [/mm] 1,5 und x als Mittelpunkt von A und y als Mittelpunkt von B das Gegenbeispiel konstruiert. Genauso verfährst du in Teil b).
Hoffentlich hilft das ein wenig.
LG Docy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:18 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fussel1000 |
Ahhhhhhh ja danke, nun ist der Knoten geplatzt.
Hab vor lauter Bäume den Wald nicht mehr gesehen. 
Klar ein gegenbeispiel reicht, ich hab die ganze zeit versucht das allgemein zu beweisen. vielen Dank für den Hinweis. :-D
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Mo 11.04.2011 | | Autor: | fussel1000 |
hab irgendwie keine Ahnung, wie man den Artikel nun auf "Frage beantwortet" setzt!? Deshalb steht der noch als offen, sorry dafür...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:26 Mo 11.04.2011 | | Autor: | Docy |
Kein Problem ^^, gern geschen.
LG Docy
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