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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:36 Di 29.10.2013 | | Autor: | h0ffmann |
| Aufgabe | | Seien A [mm] \subseteq [/mm] M und B [mm] \subseteq [/mm] N Mengen. Stellen Sie (M x N) \ (A x B) als Vereinigung geeigneter kartesischer Produkte dar (ein Venn-Diagramm hilft dabei). Beweisen Sie diese Darstellung. |
Hey, ich hoffe ich hab meine Frage nicht in die falsche Kategorie gestellt :/
Was ich bisher gemacht habe ist mir das Venn-Diagramm zu zeichen
(Ein großer Kreis der die Menge M darstellt und ein kleiner der darin enthalten ist für die Menge A, großer Kreis für N und ein kleiner der darin ist für B)
und ein weiteres Venn-Diagramm mit einem großen Kreis der die Paare von MxN beinhalten soll und einen kleineren der darin liegt und die Paare von AxB enthalten soll
Wenn ich mir das alle Zusätzlich noch als Koordinatensystem aufzeiche wo ich auf der y-achse N (mit B enthalten) und auf der x-achse M (mit A enthalten) eintrage, komme ich darauf das ich (M\ A)xN [mm] \wedge [/mm] (A\ B)xN darstellen soll.
Ich habe auch schon Probiert mit einem Beispiel weiter zu kommen.
Angenommen:
A={1,3}
B={4,5}
M={1,2,3}
N={4,5,6}
dann wäre MxN={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}
und AxB={(1,4),(1,6),(3,4),(3,6)}
also MxN \ AxB ={(1,5),(2,4),(2,5),(2,6),(3,5)}
Meine frage ist jetzt ob meine Annahmen bis hierhin richtig sind...
und was genau eine "Vereinigung geeigneter kartesischer Produkte" ist und wie ich diese dann zum Beispiel darstellen kann
Schonmal vielen Dank im Vorraus
Mfg Hoffmann
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:49 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo h0ffmann!
> Seien A [mm]\subseteq[/mm] M und B [mm]\subseteq[/mm] N Mengen. Stellen Sie
> (M x N) \ (A x B) als Vereinigung geeigneter kartesischer
> Produkte dar (ein Venn-Diagramm hilft dabei). Beweisen Sie
> diese Darstellung.
> Hey, ich hoffe ich hab meine Frage nicht in die falsche
> Kategorie gestellt :/
Die Kategorie passt absolut!
> Was ich bisher gemacht habe ist mir das Venn-Diagramm zu
> zeichen
> (Ein großer Kreis der die Menge M darstellt und ein
> kleiner der darin enthalten ist für die Menge A, großer
> Kreis für N und ein kleiner der darin ist für B)
> und ein weiteres Venn-Diagramm mit einem großen Kreis der
> die Paare von MxN beinhalten soll und einen kleineren der
> darin liegt und die Paare von AxB enthalten soll
>
> Wenn ich mir das alle Zusätzlich noch als
> Koordinatensystem aufzeiche wo ich auf der y-achse N (mit B
> enthalten) und auf der x-achse M (mit A enthalten)
> eintrage, komme ich darauf das ich (M\ A)xN [mm]\wedge[/mm] (A\ B)xN
> darstellen soll.
Du meinst sicherlich [mm]M\setminus A\times N[/mm] und [mm]A\times (N\setminus B)[/mm].
Da hast du es im Grunde ja schon abgelesen:
Es gilt
(*) [mm](M\times N)\setminus(A\times B)=((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm].
Nun gilt es, dies zu beweisen.
> Ich habe auch schon Probiert mit einem Beispiel weiter zu
> kommen.
> Angenommen:
> A={1,3}
> B={4,5}
[mm]B=\{4,6\}[/mm] meinst du.
> M={1,2,3}
> N={4,5,6}
> dann wäre
> MxN={(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6)}
> und AxB={(1,4),(1,6),(3,4),(3,6)}
> also MxN \ AxB ={(1,5),(2,4),(2,5),(2,6),(3,5)}
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Meine frage ist jetzt ob meine Annahmen bis hierhin richtig
> sind...
> und was genau eine "Vereinigung geeigneter kartesischer
> Produkte" ist und wie ich diese dann zum Beispiel
> darstellen kann
Eine Darstellung einer Menge [mm]Z[/mm] als Vereinigung zweier kartesischer Produkte ist z.B. eine Darstellung der Form
[mm]Z=(X_1\times Y_1)\cup (X_2\times Y_2)[/mm]
für gewisse Mengen [mm]X_1,Y_2,X_2,Y_2[/mm].
Obige Gleichung (*) leistet also das Gewünschte, wenn du sie nachgewiesen hast.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Di 29.10.2013 | | Autor: | h0ffmann |
> Du meinst sicherlich [mm]M\setminus A\times N[/mm] und [mm]A\times (N\setminus B)[/mm].
Wenn ich drüber nachdenke ist es natürlich richtig was du sagst, aber ich hatte es so notiert wie ich es abgetippt habe, danke!
>
> Da hast du es im Grunde ja schon abgelesen:
> Es gilt
>
> (*) [mm](M\times N)\setminus(A\times B)=((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm].
>
> Nun gilt es, dies zu beweisen.
Wie könnte mein Beweis hierfür aussehen?
[mm](M\times N)\setminus(A\times B)=((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm]
muss ich ja jetzt irgendwie so umformen das auf beiden seiten das selbe steht...
M \ A kann ich ja auch als M [mm] \wedge \neg [/mm] A schreiben (hoffe das stimmt?).
kann ich das Kreuzprodukt auch anders darstellen das ich es umformen kann oder gibt es eine einfacherer möglichkeit wie ich anhand von einem gesetz zu einem gültigem beweis komme(z.b sowas ähnliches wie assoziativgesetz)?
oder sollte ich vllt eine andere beweistechnik benutzen...
> Eine Darstellung einer Menge [mm]Z[/mm] als Vereinigung zweier
> kartesischer Produkte ist z.B. eine Darstellung der Form
>
> [mm]Z=(X_1\times Y_1)\cup (X_2\times Y_2)[/mm]
>
> für gewisse Mengen [mm]X_1,Y_2,X_2,Y_2[/mm].
>
> Obige Gleichung (*) leistet also das Gewünschte, wenn du
> sie nachgewiesen hast.
Super vielen dank! Das zu wissen hilft schon sehr beim Verständnis weiter :D
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:09 Di 29.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wie könnte mein Beweis hierfür aussehen?
> [mm](M\times N)\setminus(A\times B)=((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm]
>
> muss ich ja jetzt irgendwie so umformen das auf beiden
> seiten das selbe steht...
Ein Beweis mit Umformungen wird nur schwer möglich sein.
> M \ A kann ich ja auch als M [mm]\wedge \neg[/mm] A schreiben
> (hoffe das stimmt?).
Nein, mit [mm]\wedge[/mm] kannst du Aussagen verknüpfen, aber nicht Mengen. Auch [mm]\neg A[/mm] ist nicht erklärt.
Es gilt aber in der Tat
[mm]x\in M\setminus A\iff x\in M\wedge x\notin A[/mm]
für alle Objekte [mm]x[/mm] nach Definition von [mm]\setminus[/mm].
> kann ich das Kreuzprodukt auch anders darstellen das ich es
> umformen kann oder gibt es eine einfacherer möglichkeit
> wie ich anhand von einem gesetz zu einem gültigem beweis
> komme(z.b sowas ähnliches wie assoziativgesetz)?
> oder sollte ich vllt eine andere beweistechnik
> benutzen...
Letzteres.
Zeige nacheinander [mm](M\times N)\setminus(A\times B)\subseteq((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm] und [mm](M\times N)\setminus(A\times B)\supseteq((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm].
Etwa Ersteres:
Sei [mm]z\in(M\times N)\setminus(A\times B)[/mm].
Zu zeigen ist [mm]z\in((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm].
Wegen [mm]z\in (M\times N)\setminus(A\times B)[/mm] gilt [mm]z\in M\times N[/mm] und [mm]z\notin A\times B[/mm].
Wegen [mm]z\in M\times N[/mm] existieren [mm]x\in M[/mm] und [mm]y\in N[/mm] mit [mm]z=(x,y)[/mm].
Wegen [mm](x,y)=z\notin A\times B[/mm] gilt [mm]x\notin A[/mm] oder [mm]y\notin B[/mm].
Betrachte nun die Fälle [mm]x\notin A[/mm] und [mm]y\notin B[/mm] separat und zeige jeweils [mm]z=(x,y)\in((M\setminus A)\times N)\cup((M\times (N\setminus B)))[/mm].
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:43 Mo 23.10.2017 | | Autor: | Tobikall |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:28 Di 29.10.2013 | | Autor: | h0ffmann |
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