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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Seien [mm] $U_1, U_2$ [/mm] Untervektorräume eines Vektorraums $V$. Zeigen Sie, dass [mm] U_1\cup U_2 [/mm] genau dann ein Untervektorraum von $V$ ist, wenn [mm] $U_1\subseteq U_2$ [/mm] oder [mm] $U_2\subseteq U_1$ [/mm] gilt. |
Hi,
also irgendwie verstehe ich diese Aufabe nicht so ganze, denn ich weiß nicht so recht was zu zeigen ist, oder besser gesagt ob überhaupt etwas zu zeigen ist.
Wenn [mm] $U_1$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $U_2$ [/mm] ist, dann spielt [mm] $U_1$ [/mm] in der Vereinigung keine Rolle, weil ja jedes Element von [mm] $U_1$ [/mm] ohnehin schon in [mm] $U_2$ [/mm] vorhanden ist womit dann [mm] $U_1\cup U_2=U_2$ [/mm] wäre und dies ist nach voraussetzung schon ein Untervektorraum von $V$.
Für den anderen Fall natürlich analog.
Das wäre dann sogesehen die Rückrichtung.
Für die Hinrichtung muss ich ja zeigen, dass wenn [mm] $U_1\cup U_2$ [/mm] ein Untervektorraum ist, dass dann gilt, dass [mm] $U_1$ [/mm] eine Teilmenge von [mm] $U_2$ [/mm] ist (oder eben umgekehrt).
Hier würde ich es vielleicht mit einem Widerspruch machen, dass ich annehme es würde nicht [mm] $U_1\subseteq U_2$ [/mm] gelten und dies zu einem widerspruch führe.
Wäre das bis hier hin korrekt, oder schon falsch? Die Rückrichtung kommt mir viel zu einfach vor, aber ich wüsste auch nicht was daran falsch sein sollte.
Über Anregungen freue ich mich.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo.
Die Rückrichtung ist so einfach, nur etwas formaler aufschreiben nicht speilt keine Roööe.
Widerspruchsansatz ist auch gut.
Gruß, leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:12 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Okay, dann ein Beweis durch Widerspruch:
Sei [mm] $U_1\cup U_2$ [/mm] ein Untervektorraum von $V$ und [mm] $U_1$, $U_2$ [/mm] selbst schon Untervektorräume des Vektorraums $V$.
Angenommen es wäre [mm] $U_1$ [/mm] keine Teilmenge von [mm] $U_2$.
[/mm]
Dann gibt es mindestens ein Element [mm] $u\in U_1$, [/mm] dass nicht in [mm] $U_2$ [/mm] liegt, also [mm] $u\notin U_2$.
[/mm]
Da [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] nach Vorraussetzung jedoch Untervektorräume von $V$ sind, und daher bezüglich der Addition abgeschlossen sind und den Nullvektor 0 enthalten, dass $u$ auch ein Element von [mm] $U_2$ [/mm] sein muss, weil $0$ und $u$ Elemente von $V$ sind, muss
[mm] $0+u\in U_2$ [/mm] liegen, im Widerspruch zur Annahme [mm] $U_1$ [/mm] würde Elemente enthalten die [mm] $U_2$ [/mm] nicht enthält.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:35 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich verstehe dein Argument nicht. warum muss 0+u in U2 liegen? weil es in V liegt??
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Hast recht, dass kann man so nicht machen. Ich hatte gedacht, dass ja die Addition abgeschlossen ist und dann auch die Summe zweier Elemente wieder ein Element des Untervektorraums ist. In meiner Argumentation gehe ich dann fälschlicherweise schon davon aus, dass $u$ ein Element von [mm] $U_2$ [/mm] ist, aber das ist ja gerade zu zeigen.
Leider habe ich auch keinen anderen Ansatz.
Hast du einen Tipp für mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
was ist mit [mm] u1\inU1 [/mm] nicht in U2 und [mm] u2\in [/mm] U2 nicht in U1 und u1+u2? natürlich vorher sagen wenn U1 oder U2={0} dann gilt [mm] U1\subseteq [/mm] U2 oder umgekehrt deshalb gibt es die u1 und u2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich wähle also zwei Elemente [mm] $u_1$ [/mm] was in [mm] $U_1$ [/mm] liegt, aber nicht in [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $u_2$ [/mm] was ein Element von [mm] $U_2$ [/mm] ist, aber nicht von [mm] $u_2$.
[/mm]
Ich wüsste nicht welche Aussage ich über [mm] $u_1+u_2$ [/mm] bezüglich der Untergruppen [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] treffen kann. Jedenfalls würde dieses Element in der Vereinigung liegen.
Oder kann ich aufgrund der Abgeschlossenheit der beiden Untergruppen auch darauf schließen, dass das Element in [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] enthalten ist?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:26 Mi 11.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
kann u1+u2 in U1 liegen? wenn u2 nicht drin liegt? dann auch u1+u2-u1 also u2
entsprechend für U2
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:34 Mi 11.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Und das wäre ein Beweis dafür, dass [mm] u_2 [/mm] oder [mm] u_1 [/mm] auch in [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] liegen muss?
Ich weiß, das man auf die selbe Art zeigt, dass jeweils die inversen oder das neutrale Element in einem Vektorraum liegt (hoffe ich sage jetzt nichts falsches) aber auf diese Art könnte man dann doch zeigen das jedes x-beliebige Element in dem Untervektorraum liegen muss, oder irre ich mich?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:10 Do 12.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Frage ist zu kurz oder zu wirr. schreib einfach mal genau auf, was du zum Widerspruch zeigen willst.
mach dir das an einem einfachen Bsp klar U1=)x-y Ebene, U2=z Achse im [mm] R^3
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:33 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Ich hatte mich eigentlich nur auf deine Antwort bezogen und diese nochmal entsprechend umformuliert:
"Hallo
kann u1+u2 in U1 liegen? wenn u2 nicht drin liegt? dann auch u1+u2-u1 also u2
entsprechend für U2 "
Meine Frage war nun, ob damit gezeigt wäre, dass [mm] u_1 [/mm] bzw. [mm] u_2 [/mm] auch in [mm] U_1 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] liegt, weil wir dies ja nachrechnen können:
[mm] $u_1+u_2-u_1$
[/mm]
Dies schien mir etwas konfus, da man so ja zeigen könnte, dass jedes Element ein Element von [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2 [/mm] wäre, was für mich nicht wirklich Sinn ergab.
Könntest du diese Beitrag, den ich scheinbar nicht ganz verstanden habe, etwas näher Erläutern.
Der war mir ebenfalls etwas zu kurz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Do 12.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast deinen Vors. für den Widerspruchsbeweis nicht aufgeschrieben!
erst danach macht mein Hinweis Sinn, also tu das bitte, dann kann ich darauf Bezug nehmen
Vors:......
Beh.::::
daraus folgt...
"Dies schien mir etwas konfus, da man so ja zeigen könnte, dass jedes Element ein Element von bzw. wäre, was für mich nicht wirklich Sinn ergab.
das soll den Widerspruch erzeugen!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:24 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Voraussetzung:
[mm] $U_1\cup U_2$ [/mm] ist ein Untervektorraum von $V$, wobei [mm] $U_1$ [/mm] und [mm] $U_2$ [/mm] selbst schon Untervektorräume sind.
Behauptung:
[mm] $U_1$ [/mm] ist keine Teilmenge von [mm] $U_2$ [/mm] (oder eben Analog wo [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] die Rollen getauscht haben.)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:44 Do 12.12.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Voraussetzung:
>
> [mm]U_1\cup U_2[/mm] ist ein Untervektorraum von [mm]V[/mm], wobei [mm]U_1[/mm] und
> [mm]U_2[/mm] selbst schon Untervektorräume sind.
>
> Behauptung:
>
> [mm]U_1[/mm] ist keine Teilmenge von [mm]U_2[/mm] (oder eben Analog wo [mm]U_1[/mm]
> und [mm]U_2[/mm] die Rollen getauscht haben.)
Daraus folgt U1,U2 [mm] \not={0}
[/mm]
und es existiert ein [mm] u1\in [/mm] U1 , u1 [mm] \not \in [/mm] U2 und [mm] u2\in [/mm] U2 [mm] u2\not \in [/mm] U1
da V VR und [mm] u1\in [/mm] V und [mm] u2\in [/mm] V folgt [mm] u1+u2\in [/mm] V
damit muß u1+u2 in U1 oder U2 liegen, da U1 VR muss mit u1+u2 auch u1+u2-u1=u2 in U1 liegen Wiederspruch zur Beh, entsprechend kann u1+u2 nicht in U2 liegen.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:51 Do 12.12.2013 | | Autor: | YuSul |
Stimmt, so macht deine Anmerkung wirklich viel mehr Sinn. Hatte die Voraussetzung und Behauptung zwar eigentlich im Kopf, aber hatte deinen Tipp falsch verstanden und umgesetzt. Aber diese Vorgehensweise und Argumentation leuchtet mir ein.
Vielen Dank für deine umfangreiche Hilfe. 
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