Vereinigung Untervektorräume < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:56 Di 20.11.2012 | | Autor: | pila |
| Aufgabe | | Sei $n [mm] \in \IN$ [/mm] und $K$ ein Körper mit $|K| [mm] \ge [/mm] n$. Sei $V$ ein $K$-Vektorraum und seien [mm] $V_1,...,V_n$ [/mm] Unterräume von $V$ mit $V = [mm] V_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_n$. [/mm] Zeigen Sie, dass es ein $i [mm] \le [/mm] i [mm] \le [/mm] n$ gibt mit $V = [mm] V_i$. [/mm] Geben Sie ein Beispiel dafür, dass die Aussage nicht notwendigerweise gilt, wenn $|K| < n$. |
Hey,
Also irgendwie fehlt mir hier ein richtiger Ansatz. Erst hatte ich kurz mal überlegt über Dimensionsargumente heranzugehen, aber das bringt ja eigt. auch nix, da ich auch unendliche Basen haben kann. Ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll. Wir sind im Kapitel Körpertheorie. :)
Ich habe verschiedene Artikel in Foren mal durchgelesen um einen Anreiz zu bekommen und da war z.B. auch das Gegenbeispiel:
[mm] $\IF_{2}^2 [/mm] = [mm] \IF_{2}(1,0) \cup \IF_{2}(0,1) \cup \IF_{2}(1,1)$
[/mm]
welches ich nicht wirklich verstehe. s. https://matheraum.de/forum/Vereinigung_von_Unterraeumen/t225528
Das hat ja nix mit dem Adjungieren von 1,0 zu tun, denn die Elemente sind ja schon dadrin. Ich verstehe irgendwie diese Beschreibung nicht. Und was ist das Quadrat eines Körpers? Rein intuitiv würde ich [mm] $\IF_{4}$ [/mm] sagen, aber wie das Quadrat definiert ist, muss ich wohl verpasst haben.
Dankeschön. :)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mi 21.11.2012 | | Autor: | hippias |
Ich wuerde einen Widerspruchsbeweis versuchen und dabei annehmen,dass $n$ minimal gewaehlt ist. Ferner kann angenommen werden,dass die [mm] $V_{i}$ [/mm] Hyperebenen sind und damit Kerne von nicht trivialen linearen Funktionalen [mm] $\phi_{i}\in V^{\*}$.
[/mm]
Du kannst auch den Durchschnitt $D:= [mm] \cap_{i=1}^{n} V_{i}$ [/mm] ausfaktorisieren, also oBdA annehmen, dass $D= 0$ ist.
Nun betrachte ich [mm] $\phi:V\to K^{n}$, $v\mapsto (v\phi_{1}, \ldots, v\phi_{n})$. [/mm] Dies ist eine injektive lineare Abbildung. Aus $dim [mm] V\leq [/mm] n$ sollte sich etwas machen lassen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:07 Mi 21.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo pila,
als Alternative schlage ich ein elementareres Herangehen vor:
Zeige per Induktion nach n für alle [mm] $n\le|K|$, [/mm] dass die Behauptung gilt.
Für den Schritt von n-1 nach n unterscheide die Fälle [mm] $V=V_1\cup \ldots\cup V_{n-1}$ [/mm] und [mm] $V\supsetneq V_1\cup\ldots V_{n-1}$.
[/mm]
Im ersteren Fall wende die Induktionsvoraussetzung an.
Im letztgenannten Fall gibt es ein [mm] $w\in [/mm] V$ mit [mm] $w\not\in V_1\cup\ldots\cup V_{n-1}$ [/mm] (also [mm] $w\in V_n$) [/mm] und ich behaupte [mm] $V_{n}=V$. [/mm] Angenommen, dies wäre nicht der Fall. Dann gibt es ein [mm] $v\in [/mm] V$ mit [mm] $v\not\in V_{n}$.
[/mm]
Zeige: Für alle [mm] $\lambda\in [/mm] K$ gilt [mm] $v+\lambda w\not\in V_{n}$.
[/mm]
Also existiert ein [mm] $i_{\lambda}\in\{1,\ldots,n-1\}$ [/mm] mit [mm] $v+\lambda w\in V_{i_\lambda}$.
[/mm]
Zeige: Die Abbildung [mm] $K\to\{1,\ldots,n-1\},\;\lambda\mapsto i_\lambda$ [/mm] ist injektiv.
Also [mm] $\underbrace{|K|}_{\ge n}\le\underbrace{|\{1,\ldots,n-1\}|}_{=n-1}$. [/mm] Widerspruch.
> Ich habe verschiedene Artikel in Foren mal durchgelesen um
> einen Anreiz zu bekommen und da war z.B. auch das
> Gegenbeispiel:
>
> [mm]\IF_{2}^2 = \IF_{2}(1,0) \cup \IF_{2}(0,1) \cup \IF_{2}(1,1)[/mm]
>
> welches ich nicht wirklich verstehe.
>
> Das hat ja nix mit dem Adjungieren von 1,0 zu tun, denn die
> Elemente sind ja schon dadrin.
Nein. Mit [mm] $\IF_2(1,0)$ [/mm] ist die Menge [mm] $\{k*(1,0)\;|\;k\in\IF_2\}=\{(1,0),(0,0)\}$ [/mm] gemeint.
> Und was ist das Quadrat eines Körpers?
> Rein intuitiv würde ich [mm]\IF_{4}[/mm] sagen, aber wie das
> Quadrat definiert ist, muss ich wohl verpasst haben.
Nein, [mm] $\IF_2^2$ [/mm] bezeichnet keinen Körper, sondern einen Vektorraum. Du kennst doch sicherlich den Vektorraum [mm] $K^n$ [/mm] für einen Körper K und eine natürliche Zahl n. [mm] $\IF_2^2$ [/mm] bezeichnet den [mm] $K^n$ [/mm] für [mm] $K=\IF_2$ [/mm] und $n=2$.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:50 Mi 21.11.2012 | | Autor: | pila |
Hey,
Danke an euch beiden. Die erste Antwort kann ich leider für das Übungsblatt nicht gebrauchen, da wir die Dualräume noch nicht wirklich eingeführt haben, sondern ich das aus Interesse in meinem Algebra Buch gelesen habe, was ich mal bearbeitet habe. Tut mir Leid, aber trotzdem danke.
Tobi, deine Antwort gefällt. Auf Induktion hätte man kommen können, aber auf die Idee bin ich leider nicht gekommen.
Am Anfang meintest du sicherlich $n [mm] \ge [/mm] |K|$.
Ich kann ja mal mein Verständnis erklären, wie ich deine Lösung aufgefasst habe, dann kannst du ja mal gucken, ob es richtig ist.
Also ich mache erst einmal Induktion über $n$.
Dann habe ich ja jetzt eine Zerlegung von $V$ in Untervektorräume [mm] $V_1,...,V_n$, [/mm] also
$V = [mm] V_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_n [/mm] = [mm] (V_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_{n-1}) \cup V_n$
[/mm]
Nun hat man 3 Fälle:
1) [mm] $V_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_{n-1} [/mm] = V$, dann sind wir wie du bereits sagtest nach IV fertig
2) [mm] $V_n [/mm] = V$ ist die zu beweisende Aussage
3) $V [mm] \subsetneq V_n$ [/mm] und $V [mm] \subsetneq V_1 \cup [/mm] ... [mm] \cup V_{n-1}$
[/mm]
Ok, dann existieren im 3. Fall wie du bereits sagtest $v,w [mm] \in [/mm] V$ mit den obigen Eigenschaften.
Und es gilt [mm] $\lambda \in [/mm] K, v + [mm] \lambda w\not\in V_n$
[/mm]
Angenommen $v + [mm] \lambda [/mm] w = v' [mm] \in V_n \Leftrightarrow [/mm] v = v' - [mm] \lambda [/mm] w$, da es ein UVR ist, ist [mm] $\lambda [/mm] w [mm] \in V_n$ [/mm] und dementsprechend auch die Addition $v' - [mm] \lambda [/mm] w$ was nix anderes als $v$ ist.
Dann ex. $ [mm] i_{\lambda}\in\{1,\ldots,n-1\} [/mm] $ mit $ [mm] v+\lambda w\in V_{i_\lambda} [/mm] $, da es ja in $V$ liegen muss und $V$ eine Vereinigung von den Untervektorräumen [mm] $V_i$ [/mm] ist.
$f: [mm] K\to\{1,\ldots,n-1\},\;\lambda\mapsto i_\lambda [/mm] $ ist injektiv
Sei [mm] $\lambda_1, \lambda_2 \in [/mm] K$ und [mm] $f(\lambda_1) [/mm] = [mm] f(\lambda_2) [/mm] = [mm] i_{\lambda_1} [/mm] = [mm] i_{\lambda_2}$
[/mm]
Also ist $v+ [mm] \lambda_1 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}}$ [/mm] und $v+ [mm] \lambda_2 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}}$
[/mm]
Sei nun [mm] $w_1,w_2 \in V_{i_{\lambda_1}}$, [/mm] dann ist $v+ [mm] \lambda_1 [/mm] w = [mm] w_1 [/mm] = v+ [mm] \lambda_2 [/mm] w + [mm] w_2$, [/mm] also ist [mm] $(\lambda_1 [/mm] - [mm] \lambda_2) [/mm] w = [mm] w_2 \in V_{i_{\lambda_1}}$, [/mm] insbesondere $w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}}$ [/mm] was ein Widerspruch zu der Eigenschaft von $w$ ist, die du oben genannt hast, also das es nicht aus der Vereinigung kommt.
Insgesamt folgt dann auch ein Widerspruch. Also kann der 3te Fall nicht eintreten.
Mit t $ [mm] \IF_2^2 [/mm] $ hast du recht. Stimmt, da habe ich nicht dran gedacht. Du hast vollkommen recht. Oh man, manchmal sieht man den ganzen Wald vor Bäumen nicht. Hehe. Jetzt verstehe ich auch das Gegenbeispiel.
Kann ich dir noch eine Frage zu der anderen Teilaufgabe stellen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:33 Mi 21.11.2012 | | Autor: | pila |
Sei $L|K$ eine normale, endliche Körpererweiterung und $L|M|K$ ein Zwischenkörper mit folgender Eigenschaft: Jedes $f [mm] \in [/mm] K[X]$, das eine Nullstelle in $L$ hat, hat auch eine Nullstelle in M. Zeigen Sie: $L=M$.
Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm] $L=\bigcup_{\Phi \in \text{Aut}(L|K)} \Phi(M)$ [/mm] und verwenden Sie für unendliches $K$ Teil a)
Gut, ich muss nun zeigen, dass $L [mm] \subset [/mm] M$ ist.
Da es eine endliche KE (Körpererweiterung ist) ist sie insbesondere auch algebraisch, also jedes [mm] $\alpha \in [/mm] L$ ist algebraisch. Also ex. $f [mm] \in [/mm] K[X]$ mit [mm] $f(\alpha) [/mm] = 0$, aber nun hat nach Eigenschaft $f$ auch eine Nullstelle [mm] $\beta \in [/mm] M$. D.h. [mm] $f(\beta) [/mm] = 0$.
Betrachte ich jetzt die Automorphismengruppe, dann weiß ich ja, dass sie die Nullstellen von Minimalpolynome auf Nullstellen schickt und dann könnte ich meinen Hinweis gebrauchen.
Da $L$ eine endl. Körpererweiterung ist ex. [mm] $\alpha_1,...,\alpha_n \in [/mm] L$ mit $L = [mm] K(\alpha_1, [/mm] ..., [mm] \alpha_n)$. [/mm] Nun haben die Minimalpolynom [mm] $\mu_{\alpha_i} \in [/mm] K[X]$ auch entsprechende Nullstellen [mm] $\beta_i \in [/mm] M$ lt. Eigenschaft. Also kann ich auch [mm] $K(\beta_1,...,\beta_n)$ [/mm] bilden. Benutze ich nun meine Aussage von oben mit der Automorphismengruppe so kann ich sagen, dass [mm] $\beta_i [/mm] = [mm] \Phi(\alpha_j)$ [/mm] mit [mm] $\Phi \in \text(Aut)(L|K)$. [/mm] Damit kann ich vllt. dann weiterarbeiten. Die Normalität kann ich noch dazu benutzen, da ich dann weiß dass die Minimalpolynome wirklich über $L$ zerfallen und ich somit alle Nullstellen bzw. Elemente von $L$ habe.
Joa, das waren so meine ersten Gedanken dazu. Nur den Hinweis habe ich noch nicht direkt benutzt. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Do 22.11.2012 | | Autor: | hippias |
> Sei [mm]L|K[/mm] eine normale, endliche Körpererweiterung und [mm]L|M|K[/mm]
> ein Zwischenkörper mit folgender Eigenschaft: Jedes [mm]f \in K[X][/mm],
> das eine Nullstelle in [mm]L[/mm] hat, hat auch eine Nullstelle in
> M. Zeigen Sie: [mm]L=M[/mm].
> Hinweis: Zeigen Sie, dass [mm]L=\bigcup_{\Phi \in \text{Aut}(L|K)} \Phi(M)[/mm]
> und verwenden Sie für unendliches [mm]K[/mm] Teil a)
>
> Gut, ich muss nun zeigen, dass [mm]L \subset M[/mm] ist.
>
> Da es eine endliche KE (Körpererweiterung ist) ist sie
> insbesondere auch algebraisch, also jedes [mm]\alpha \in L[/mm] ist
> algebraisch. Also ex. [mm]f \in K[X][/mm] mit [mm]f(\alpha) = 0[/mm], aber
> nun hat nach Eigenschaft [mm]f[/mm] auch eine Nullstelle [mm]\beta \in M[/mm].
> D.h. [mm]f(\beta) = 0[/mm].
>
> Betrachte ich jetzt die Automorphismengruppe, dann weiß
> ich ja, dass sie die Nullstellen von Minimalpolynome auf
> Nullstellen schickt und dann könnte ich meinen Hinweis
> gebrauchen.
>
> Da [mm]L[/mm] eine endl. Körpererweiterung ist ex.
> [mm]\alpha_1,...,\alpha_n \in L[/mm] mit [mm]L = K(\alpha_1, ..., \alpha_n)[/mm].
> Nun haben die Minimalpolynom [mm]\mu_{\alpha_i} \in K[X][/mm] auch
> entsprechende Nullstellen [mm]\beta_i \in M[/mm] lt. Eigenschaft.
> Also kann ich auch [mm]K(\beta_1,...,\beta_n)[/mm] bilden. Benutze
> ich nun meine Aussage von oben mit der Automorphismengruppe
> so kann ich sagen, dass [mm]\beta_i = \Phi(\alpha_j)[/mm] mit [mm]\Phi \in \text(Aut)(L|K)[/mm].
Ja, fuer normale, algebraische Koerpererweiterungen geht das: Die Automorphismengruppe operiert transitiv auf der Nullstellenmenge. Ohne Normalitaet wuesste man nicht, ob zu vorgebener [mm] $\alpha$ [/mm] einen Automorphismus [mm] $\phi$, [/mm] der [mm] $\alpha$ [/mm] auf vorgegebene Nullstelle [mm] $\beta$ [/mm] abbildet.
Ich weiss natuerlich nicht, welche Saetze Du ueber normale Erweiterungen kennst. Vielleicht kannst Du einmal ein paar nenne, die Dir als geeignet erscheinen.
Mir jedenfalls schwebt so etwas vor: Ist $E$ eine normale, algebraische Erweiterung von $K$ und $f$ das Minimalploynom von [mm] $\alpha\in [/mm] E$. Dann gibt es zu jedem [mm] $\beta\in [/mm] E$ mit [mm] $f(\beta)= [/mm] 0$ ein [mm] $\phi\in Aut_{K}(E)$ [/mm] mit [mm] $\alpha^{\phi}= \beta$.
[/mm]
Allerdings koennte ich damit die Behauptung zeigen, ohne den Hilfssatz aus der linearen Algebra.
> Damit kann ich vllt. dann weiterarbeiten. Die Normalität
> kann ich noch dazu benutzen, da ich dann weiß dass die
> Minimalpolynome wirklich über [mm]L[/mm] zerfallen und ich somit
> alle Nullstellen bzw. Elemente von [mm]L[/mm] habe.
> Joa, das waren so meine ersten Gedanken dazu. Nur den
> Hinweis habe ich noch nicht direkt benutzt. :)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:58 Mi 21.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Deine Ausführungen sehen gut aus! 
> Am Anfang meintest du sicherlich [mm]n \ge |K|[/mm].
Nein. In der Aufgabe ist [mm] $n\le|K|$ [/mm] vorausgesetzt und wir können die Aussage auch nur für [mm] $n\le|K|$ [/mm] beweisen.
> Also ich mache erst einmal Induktion über [mm]n[/mm].
> Dann habe ich
im Induktionsschritt
> ja jetzt eine Zerlegung von [mm]V[/mm] in
> Untervektorräume [mm]V_1,...,V_n[/mm], also
>
> [mm]V = V_1 \cup ... \cup V_n = (V_1 \cup ... \cup V_{n-1}) \cup V_n[/mm]
>
> Nun hat man 3 Fälle:
>
> 1) [mm]V_1 \cup ... \cup V_{n-1} = V[/mm], dann sind wir wie du
> bereits sagtest nach IV fertig
>
> 2) [mm]V_n = V[/mm] ist die zu beweisende Aussage
> 3) [mm]V \subsetneq V_n[/mm] und [mm]V \subsetneq V_1 \cup ... \cup V_{n-1}[/mm]
[mm] ($\supsetneq$ [/mm] statt [mm] $\subsetneq$ [/mm] meinst du jeweils.)
> Ok, dann existieren im 3. Fall wie du bereits sagtest [mm]v,w \in V[/mm]
> mit den obigen Eigenschaften.
>
> Und es gilt [mm]\lambda \in K, v + \lambda w\not\in V_n[/mm]
>
> Angenommen [mm]v + \lambda w = v' \in V_n \Leftrightarrow v = v' - \lambda w[/mm],
> da es ein UVR ist, ist [mm]\lambda w \in V_n[/mm] und
> dementsprechend auch die Addition Differenz [mm]v' - \lambda w[/mm] was nix
> anderes als [mm]v[/mm] ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Dann ex. [mm]i_{\lambda}\in\{1,\ldots,n-1\}[/mm] mit [mm]v+\lambda w\in V_{i_\lambda} [/mm],
> da es ja in [mm]V[/mm] liegen muss und [mm]V[/mm] eine Vereinigung von den
> Untervektorräumen [mm]V_i[/mm] ist.
>
> [mm]f: K\to\{1,\ldots,n-1\},\;\lambda\mapsto i_\lambda[/mm] ist
> injektiv
> Sei [mm]\lambda_1, \lambda_2 \in K[/mm] und [mm]f(\lambda_1) = f(\lambda_2) = i_{\lambda_1} = i_{\lambda_2}[/mm]
>
> Also ist [mm]v+ \lambda_1 w \in V_{i_{\lambda_1}}[/mm] und [mm]v+ \lambda_2 w \in V_{i_{\lambda_1}}[/mm]
>
> Sei nun [mm]w_1,w_2 \in V_{i_{\lambda_1}}[/mm], dann ist [mm]v+ \lambda_1 w = w_1 = v+ \lambda_2 w + w_2[/mm],
![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Was sind [mm] $w_1$ [/mm] und [mm] $w_2$? [/mm] BELIEBIGE Elemente von [mm] $V_{i_{\lambda_1}}$ [/mm] offenbar nicht...
> also ist [mm](\lambda_1 - \lambda_2) w = w_2 \in V_{i_{\lambda_1}}[/mm],
> insbesondere [mm]w \in V_{i_{\lambda_1}}[/mm] was ein Widerspruch zu
> der Eigenschaft von [mm]w[/mm] ist, die du oben genannt hast, also
> das es nicht aus der Vereinigung kommt.
Wegen $v+ [mm] \lambda_1 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}}$ [/mm] und $v+ [mm] \lambda_2 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}}$ [/mm] ist auch deren Differenz [mm] $(\lambda_1-\lambda_2)w\in V_{i_{\lambda_1}}$. [/mm] Wäre nun [mm] $\lambda_1\not=\lambda_2$, [/mm] so wäre damit auch [mm] $w=(\lambda_1-\lambda_2)^{-1}(\lambda_1-\lambda_2)w\in V_{i_{\lambda_1}}$. [/mm] Also [mm] $\lambda_1=\lambda_2$.
[/mm]
> Insgesamt folgt dann auch ein Widerspruch.
Wegen [mm] $|K|\le [/mm] n$.
> Also kann der
> 3te Fall nicht eintreten.
Genau.
> Kann ich dir noch eine Frage zu der anderen Teilaufgabe
> stellen?
Klar kannst du sie hier stellen. Ich bin gerade allerdings in der Theorie der Körpererweiterungen nicht mehr drin und möchte mich daher nicht in diese Aufgabe einarbeiten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:52 Mi 21.11.2012 | | Autor: | pila |
Ok. Tschuldigung, das mit den Teilmengen, etc. hattest du recht. Das war ein Versehen. [mm] $w_1,w_2$ [/mm] sind keine beliebigen Elemente, da besteht ein Zusammenhang.
Also $ v+ [mm] \lambda_1 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}} [/mm] $, also ist $ v+ [mm] \lambda_1 [/mm] w = [mm] w_1$ [/mm] für [mm] $w_1 \in V_{i_{\lambda_1}} [/mm] $. Dementsprechend ist bei $ v+ [mm] \lambda_2 [/mm] w [mm] \in V_{i_{\lambda_1}} [/mm] $ für ein [mm] $w_2 \in V_{i_{\lambda_1}} [/mm] $ gilt $ v+ [mm] \lambda_2 [/mm] w = [mm] w_1 [/mm] + [mm] w_1' [/mm] =: [mm] w_2 [/mm] $
Dann habe ich das so gemacht wie du. Ja, sieht vllt. etwas komisch aus, aber habe das etwas ausführlicher in der Abgabe geschrieben. Das mit der Aussage "Widerspruch" meinte ich auch, dass die Lambdas gleich sein müssen, damit es verschwindet und ich den Widerspruch nicht erhalte. Sry, falls das unklar war.
Die letzte Aufgabe habe ich auch gelöst, denke ich. Sollte richtig sein, wenn Interesse von jemanden besteht, kann ich meine Lösung, wenn ich sie zurück bekomme, mal online stellen.
Danke und viele Grüße
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:24 Do 22.11.2012 | | Autor: | hippias |
>
> Zeige: Die Abbildung [mm]K\to\{1,\ldots,n-1\},\;\lambda\mapsto i_\lambda[/mm]
> ist injektiv.
>
Dieser Ansatz gefaellt mir auch. Aber so duerfte das keine Abbildung sein, da [mm] $v+\lambda [/mm] w$ in mehreren Unterräumen enthalten sein koennte. Aber dann nimmt man eben den kleinsten Index; der Rest wird davon nicht beruehrt.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:47 Do 22.11.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo hippias,
> > Zeige: Die Abbildung [mm]K\to\{1,\ldots,n-1\},\;\lambda\mapsto i_\lambda[/mm]
> > ist injektiv.
> >
> Dieser Ansatz gefaellt mir auch. Aber so duerfte das keine
> Abbildung sein, da [mm]v+\lambda w[/mm] in mehreren Unterräumen
> enthalten sein koennte. Aber dann nimmt man eben den
> kleinsten Index; der Rest wird davon nicht beruehrt.
Den kleinsten Index nehmen ist eine Möglichkeit. Die andere (die ich implizit meinte): Per Auswahlaxiom für jedes [mm] $\lambda\in [/mm] K$ ein [mm] $i_\lambda$ [/mm] wählen.
Viele Grüße
Tobias
|
|
|
|
