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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 18:05 Mi 16.11.2005 | | Autor: | dump_0 |
Hi Leute,
ich soll eine Aufgabe lösen, weiß aber nich recht wie ich das anstellen soll.
Es geht um folgendes:
Es sei A1, A2, A3, ... eine unendl. folge von Mengen. Zeigen Sie mit einem Gegenbsp. das folgendes nicht gilt:
[mm] \bigcap_{i=1}^{ \infty} \bigcup_{j=i}^{\infty} A_j \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcap_{j=i}^{ \infty} A_j
[/mm]
Als Ansatz hat man ja [mm] \bigcap_{i=1}^{ \infty} [/mm] = [mm] A_1 \cap A_2 \cap [/mm] ... [mm] \cap A_{/infty}. [/mm] Somit muss es wohl ein x [mm] \in A_1 \wedge [/mm] x [mm] \in A_2 [/mm] ... geben.
Aber wie dann weiter, ich weiß nicht was ich dann mit dem großen Vereinigungszeichen anstellen soll, wird dann der Schnitt aller Mengen A1...Ai vereinigt ??? Wie soll ich das dann anstellen, weil der Schnitt aller Mengen ist ja dann auch wieder nur ne Menge, ich kann doch keine Menge allein vereinigen ?
Würde mich über hilfreiche sehr freuen.
Grüße
[mm] dump_0
[/mm]
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Hallo!
> ich soll eine Aufgabe lösen, weiß aber nich recht wie ich
> das anstellen soll.
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> Es geht um folgendes:
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> Es sei A1, A2, A3, ... eine unendl. folge von Mengen.
> Zeigen Sie mit einem Gegenbsp. das folgendes nicht gilt:
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> [mm]\bigcap_{i=1}^{ \infty} \bigcup_{j=i}^{\infty} A_j \subseteq \bigcup_{i=1}^{\infty} \bigcap_{j=i}^{ \infty} A_j[/mm]
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> Als Ansatz hat man ja [mm]\bigcap_{i=1}^{ \infty}[/mm] = [mm]A_1 \cap A_2 \cap[/mm]
> ... [mm]\cap A_{/infty}.[/mm] Somit muss es wohl ein x [mm]\in A_1 \wedge[/mm]
> x [mm]\in A_2[/mm] ... geben.
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> Aber wie dann weiter, ich weiß nicht was ich dann mit dem
> großen Vereinigungszeichen anstellen soll, wird dann der
> Schnitt aller Mengen A1...Ai vereinigt ??? Wie soll ich das
> dann anstellen, weil der Schnitt aller Mengen ist ja dann
> auch wieder nur ne Menge, ich kann doch keine Menge allein
> vereinigen ?
Ich versuche mal, dir zu erklären, wie das gemeint ist. Und zwar steht ja auf der linken Seite zuerst mal ein "Schnitt" mit der Laufvariablen (sagt man das in der Mathematik so?) i. Dieses i beginnt bei 1. Wenn nun also i=1 ist, dann gucken wir, was danach kommt. Danach steht eine "Vereinigung", und diese Vereinigung läuft über j. Dieses j hängt aber von i ab, also müssen wir immer gucken, welches i wir haben. Wenn wir bei i=1 sind, dann vereinigen wir alle Mengen [mm] A_1, A_2, A_3,...,A_n [/mm] usw.. Eben alle Mengen ab [mm] A_j [/mm] mit j=i=1. So, das ist unsere erste "vereinigte Menge". Nun haben wir also erstmal alle j durch und müssen das i laufen lassen. Nach i=1 kommt natürlich i=2. Wenn nun i=2 ist, fängt j ebenfalls bei 2 an. Also vereinigen wir jetzt alle Mengen [mm] A_2, A_3, [/mm] ... usw.. Eben fast das Gleiche wie gerade, nur ohne [mm] A_1. [/mm] Wenn wir wieder alle j durchlaufen haben, müssen wir i wieder um 1 erhöhen, sind dann also bei i=3, deswegen fängt j dann auch bei 3 an und wir vereinigen alle Mengen ab [mm] A_3 [/mm] und so geht das dann immer weiter. Ist dir jetzt klar, wie das gemeint ist? Auf der rechten Seiten müsste das genauso gehen. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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