Vereinfachung von Winkeltermen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:54 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | Vereinfachen Sie folgende Terme:
a) sin [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * cos² [mm] \alpha
[/mm]
b) (sin [mm] \alpha [/mm] + cos [mm] \alpha)² [/mm] + (sin [mm] \alpha [/mm] - cos [mm] \alpha)²
[/mm]
c) cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{1+tan² \alpha}
[/mm]
d) [mm] \bruch{1}{1+sin \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-sin \alpha}
[/mm]
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Wie kann ich diese Terme vereinfachen?
Am besten natürlich weitmöglichst.
Ich hatte lange keinen Mathe-Unterricht mehr und muss jetzt
wieder in die Trigonometrie hineinfinden.
Für eure Hilfe bin ich sehr dankbar.
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:00 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Folgende Beziehung wird dir hier mehrfach weiterhelfen:
[mm] $$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha [/mm] \ = \ 1$$
> a) sin [mm]\alpha[/mm] - sin [mm]\alpha[/mm] * cos² [mm]\alpha[/mm]
Klammere hier zunächst [mm] $\sin\alpha$ [/mm] aus.
> b) (sin [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\alpha)²[/mm] + (sin [mm]\alpha[/mm] - cos [mm]\alpha)²[/mm]
Multipliziere die Klammern gemäß binomischer Formeln aus.
> c) cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\wurzel{1+tan² \alpha}[/mm]
Forme unter der Wurzel wie folgt um:
[mm] $$1+\tan^2\alpha [/mm] \ = \ [mm] 1+\left(\bruch{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\bruch{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} [/mm] \ = \ ...$$
> d) [mm]\bruch{1}{1+sin \alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-sin \alpha}[/mm]
Bringe beide Brüche auf den Hauptnenner.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:51 Mi 11.02.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | a) sin $ [mm] \alpha [/mm] $ - sin $ [mm] \alpha [/mm] $ * cos² $ [mm] \alpha [/mm] $
b) (sin $ [mm] \alpha [/mm] $ + cos $ [mm] \alpha)² [/mm] $ + (sin $ [mm] \alpha [/mm] $ - cos $ [mm] \alpha)² [/mm] $
c) cos $ [mm] \alpha [/mm] $ * $ [mm] \wurzel{1+tan² \alpha} [/mm] $
d) $ [mm] \bruch{1}{1+sin \alpha} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{1-sin \alpha} [/mm] $ |
a) Wie kann ich dort ausklammern?
So?: sin [mm] \alpha [/mm] (1-(1*cos [mm] \alpha)) [/mm] ???
Wie mache ich denn dann weiter?
b) Wie komm ich weiter?
So?: (sin² [mm] \alpha+2sin \alpha [/mm] *cos [mm] \alpha [/mm] + cos² [mm] \alpha) [/mm] + (sin² [mm] \alpha [/mm] - 2sin [mm] \alpha [/mm] *cos [mm] \alpha [/mm] + cos² [mm] \alpha)
[/mm]
c) [mm] 1+\tan^2\alpha [/mm] = [mm] 1+\left(\bruch{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2 [/mm] = [mm] \bruch{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\bruch{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha} [/mm] = ...
Wie kann ich hier weitermachen?
d) [mm] \bruch{1}{1+sin \alpha} [/mm] + [mm] \bruch{1}{1-sin \alpha} [/mm]
Wie bringe ich die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?
Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:59 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
> a) sin [mm]\alpha[/mm] - sin [mm]\alpha[/mm] * cos² [mm]\alpha[/mm]
> b) (sin [mm]\alpha[/mm] + cos [mm]\alpha)²[/mm] + (sin [mm]\alpha[/mm] - cos
> [mm]\alpha)²[/mm]
> c) cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\wurzel{1+tan² \alpha}[/mm]
> d) [mm]\bruch{1}{1+sin \alpha}[/mm]
> + [mm]\bruch{1}{1-sin \alpha}[/mm]
> a) Wie kann ich dort
> ausklammern?
>
> So?: sin [mm]\alpha[/mm] (1-(1*cos [mm]\alpha))[/mm] ???
Nein so: sin [mm]\alpha[/mm] [mm] (1-(1*cos^2[/mm] [mm]\alpha))[/mm]
> Wie mache ich denn dann weiter?
Es gilt: [mm] cos^2(\alpha) [/mm] + [mm] sin^2(\alpha) [/mm] =1
>
> b) Wie komm ich weiter?
>
> So?: (sin² [mm]\alpha+2sin \alpha[/mm] *cos [mm]\alpha[/mm] + cos²
> [mm]\alpha)[/mm] + (sin² [mm]\alpha[/mm] - 2sin [mm]\alpha[/mm] *cos [mm]\alpha[/mm] + cos²
> [mm]\alpha)[/mm]
Wieder mit : [mm] $cos^2(\alpha) [/mm] + [mm] sin^2(\alpha) [/mm] =1$
>
> c) [mm]1+\tan^2\alpha[/mm] =
> [mm]1+\left(\bruch{\sin\alpha}{\cos\alpha}\right)^2[/mm] =
> [mm]\bruch{\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\bruch{\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}[/mm]
> = ...
>
> Wie kann ich hier weitermachen?
Wieder mit : [mm] cos^2(\alpha) [/mm] + [mm] sin^2(\alpha) [/mm] =1
>
> d) [mm]\bruch{1}{1+sin \alpha}[/mm] + [mm]\bruch{1}{1-sin \alpha}[/mm]
>
> Wie bringe ich die Brüche auf einen gemeinsamen Nenner?
Stichwort:  Hauptnenner
FRED
>
>
> Vielen Dank für eure Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:08 Mi 11.02.2009 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
ich habe es mal nachgerechnet und wollte nur nachfragen, ob meine Lösungen:
a, ... = sin [mm] \alpha[1-1+sin² \alpha] [/mm] = sin³ [mm] \alpha
[/mm]
b, ... = 2(sin² [mm] \alpha [/mm] + cos² [mm] \alpha) [/mm] = 2
c, ... = [mm] \bruch{cos \alpha}{cos \alpha} [/mm] = 1
d, ... = [mm] \bruch{2}{cos² \alpha}
[/mm]
stimmen?
Vielen Dank im Voraus,
itse
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:14 Mi 11.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Alles richtig
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Aufgabe c)
cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{1+tan²\alpha}
[/mm]
Ist es so richtig? :
cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{cos²\alpha}{cos²\alpha}+\bruch{sin²\alpha}{cos²\alpha}} [/mm] =
cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{1}{2cos²\alpha}} [/mm] =
cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \bruch{1}{2cos\alpha} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * cos [mm] \alpha
[/mm]
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Hallo Database,
> Aufgabe c)
> Aufgabe c)
>
> cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\wurzel{1+tan²\alpha}[/mm]
>
> Ist es so richtig? :
>
> cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\wurzel{\bruch{cos²\alpha}{cos²\alpha}+\bruch{sin²\alpha}{cos²\alpha}}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> = cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\wurzel{\bruch{1}{2cos²\alpha}}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da hast du aber die Brüche falsch addiert, es ist doch [mm] $\frac{a}{c}+\frac{b}{c}=\frac{a+b}{c}$ [/mm] und nicht [mm] $\frac{a+b}{c+c}$
[/mm]
> = cos [mm]\alpha[/mm] * [mm]\bruch{1}{2cos\alpha}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * cos [mm]\alpha[/mm]
Nicht ganz
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:37 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Jetzt weiß ich:
Es kommt cos [mm] \alpha [/mm] raus
da, cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \wurzel{\bruch{cos²\alpha+sin²\alpha}{cos²\alpha}}
[/mm]
=
cos [mm] \alpha [/mm] * [mm] \bruch{1}{cos\alpha}
[/mm]
=
cos [mm] \alpha
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:40 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Was erhältst Du denn z.B. für:
[mm] $$3*\bruch{1}{3} [/mm] \ \ \ \ [mm] \text{oder} [/mm] \ \ \ \ [mm] A*\bruch{1}{A}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:41 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Das Ergebnis für Aufgabe c) ist " 1 ".
Richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:44 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
So stimmt es nun ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:40 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | Aufgabe a)
Vereinfachen Sie:
sin [mm] \alpha [/mm] - sin [mm] \alpha [/mm] * [mm] cos²\alpha [/mm] |
a) Stimmt das Ergebnis?:
sin [mm] \alpha [/mm] * [mm] (1-(1*cos²\alpha)) [/mm] =
sin [mm] \alpha [/mm] * [mm] (1-cos²\alpha) [/mm] =
sin [mm] \alpha [/mm] * [mm] (sin²\alpha) [/mm] =
[mm] 2sin²\alpha
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Das stimmt auch Nicht. Was ergibt bei Dir [mm] $A*A^2$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Als Ergebnis für Aufgabe a)
[mm] sin³\alpha [/mm] ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:48 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Yep!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | d)
$ [mm] \bruch{1}{1+sin \alpha} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{1-sin \alpha} [/mm] $ |
Habe bei Frage d):
[mm] \bruch{(1-sin\alpha)+(1+sin\alpha)}{(1+sin\alpha)*(1-sin\alpha)}
[/mm]
Wie mach ich denn jetzt weiter?
Kann ich [mm] (1-sin\alpha) [/mm] und [mm] (1+sin\alpha) [/mm] in Zähler und Nenner wegstreichen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:02 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \bruch{(1-sin\alpha)+(1+sin\alpha)}{(1+sin\alpha)\cdot{}(1-sin\alpha)} [/mm] $ = [mm] \bruch{2}{1-sin^2(\alpha)} [/mm] = [mm] \bruch{2}{cos^2(\alpha)}
[/mm]
FRED
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:29 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
| Aufgabe | Aufgabe b)
$ [mm] \bruch{1}{1+sin \alpha} [/mm] $ + $ [mm] \bruch{1}{1-sin \alpha} [/mm] $ |
Ich habe gerechnet:
[mm] (sin²\alpha [/mm] + [mm] 2sin\alpha*cos\alpha+cos²\alpha) [/mm] + [mm] (sin²\alpha [/mm] - [mm] 2sin\alpha*cos\alpha+cos²\alpha)
[/mm]
Wie fass ich diese lange Termreihe jetzt zusammen?
Könnt ihr mit bitte helfen?
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:31 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Wie kommst Du darauf? Was rechnest Du da? Und: wo kommen hier plötzlich die Terme mit [mm] $\cos^2(x)$ [/mm] her?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Sorry. Es geht um Aufgabe b), habe die falsche abgeschrieben.
Aufgabe b)
[mm] (sin\alpha+cos\alpha)²+(sin \alpha [/mm] - cos [mm] \alpha)²
[/mm]
Da habe ich gerechnet:
[mm] (sin\alpha²+2sin\alpha*cos\alpha+cos²\alpha) [/mm] + [mm] (sin\alpha²-2sin\alpha*cos\alpha+cos²\alpha)
[/mm]
Und da war meine Frage, wie ich weiterrechnen kann.
Danke.
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Hallo Database,
Du kannst jetzt die Klammern entfernen und dann mal sehen, was sich so ergibt. Denke dabei auch an den "trigonometrischen Pythagoras":
[mm] \sin^2{\alpha}+\cos^2{\alpha}=\cdots
[/mm]
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:57 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Ich würde das jetzt so rechnen:
[mm] sin²\alpha [/mm] + [mm] 2sin\alpha*cos\alpha +cos²\alpha [/mm] + [mm] sin²\alpha [/mm] - [mm] 2sin\alpha*cos\alpha [/mm] + [mm] cos²\alpha [/mm] =
[mm] 1+2sin\alpha*cos\alpha [/mm] + [mm] 1-2sin\alpha*cos\alpha
[/mm]
Oder wie fasst man die Therme zusammen?
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Hallo Database,
ja, bis dahin schonmal richtig.
Und wieviel sind zwei pfrglmümz minus zwei pfrglmümz?
Fass mal weiter zusammen...
Grüße,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:04 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Dann müsste das Ergebnis bei Aufgabe b) "0" sein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:06 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Nein, was ist denn mit dem "Rest" [mm] $\sin^2(x)+\cos^2(x)+\sin^2(x)+\cos^2(x)$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Ja dann stimmt mein Ergebnis, das ich vorher ausgerechnet habe: "2".
Oder? 
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:09 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Hallelujah! Danke für eure Ausdauer und Hilfe!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Di 17.02.2009 | | Autor: | fred97 |
Was ist
1 +zwei pfrglmümz +1 - zwei pfrglmümz?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Di 17.02.2009 | | Autor: | Database |
Ja, "2", ist das doch das Ergebnis.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:03 Di 17.02.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo Database!
> Oder wie fasst man die Therme zusammen?
Durch mehrere Bademeister und viel Wasser und Wärme!
Die mathematischen Terme schreiben sich ohne "h".
Gruß
Loddar
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