Vereinfachung einer Rechnung < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:27 Mo 07.04.2008 | | Autor: | mariluz |
| Aufgabe | | Wir sollen die nächste Rechnung vereinfachen |
[mm] (\vec{m}*\vec{r})\vec{v}+(\vec{v}*\vec{r})\vec{m}+(\vec{m}*\vec{v})\vec{r}
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:53 Mo 07.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ist dein * das Kreuz- oder das Skalarprodukt? Ich vermute mal, das Kreuzprodukt. Zur Unterscheidung nehme ich jetzt man [mm] \times [/mm] fürs Kreuz und [mm] \* [/mm] fürs Skalarpr.
Am besten geht es, wenn du direkt ausrechnest.
Also:
[mm] (\vec{m}\cdot{}\vec{r})*\vec{v}+(\vec{v}\cdot{}\vec{r})*\vec{m}+(\vec{m}\cdot{}\vec{v})*\vec{r}
[/mm]
[mm] =\left(\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}\times\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}\right)\*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+\left(\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\times\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}\right)\*\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}+\left(\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}\times\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\right)\*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{m_{2}r_{3}-m_{3}r_{2}\\m_{3}r_{1}-m_{1}r_{3}\\m_{1}r_{2}-m_{2}r_{1}}\*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+\vektor{v_{2}r_{3}-v_{3}r_{2}\\v_{3}r_{1}-v_{1}r_{3}\\v_{1}r_{2}-v_{2}r_{1}}\*\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}+\vektor{m_{2}v_{3}-m_{3}v_{2}\\m_{3}v_{1}-m_{1}v_{3}\\m_{1}v_{2}-m_{2}v_{1}}\*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{v_{1}(m_{2}r_{3}-m_{3}r_{2})\\v_{2}(m_{3}r_{1}-m_{1}r_{3})\\v_{3}(m_{1}r_{2}-m_{2}r_{1})}+\vektor{m_{1}(v_{2}r_{3}-v_{3}r_{2})\\m_{2}(v_{3}r_{1}-v_{1}r_{3})\\m_{3}(v_{1}r_{2}-v_{2}r_{1})}+\vektor{r_{1}(m_{2}v_{3}-m_{3}v_{2})\\r_{2}(m_{3}v_{1}-m_{1}v_{3})\\r_{3}(m_{1}v_{2}-m_{2}v_{1})}
[/mm]
[mm] =\vektor{v_{1}(m_{2}r_{3}-m_{3}r_{2})+m_{1}(v_{2}r_{3}-v_{3}r_{2})+r_{1}(m_{2}v_{3}-m_{3}v_{2})\\v_{2}(m_{3}r_{1}-m_{1}r_{3})+m_{2}(v_{3}r_{1}-v_{1}r_{3})+r_{2}(m_{3}v_{1}-m_{1}v_{3})\\v_{3}(m_{1}r_{2}-m_{2}r_{1})+m_{3}(v_{1}r_{2}-v_{2}r_{1})+r_{3}(m_{1}v_{2}-m_{2}v_{1})}
[/mm]
Jetzt versuch mal weiter. Am Ende klammere mal weitestgehend aus.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:31 Mo 07.04.2008 | | Autor: | mariluz |
Hi Marius!
danke sehr aber es ist alles ein Skalarprodukt, es gibt kein Kreuzprodukt. Wir suchen eine kürzere Ausdruck
kannst du uns weiter helfen?
Viele Grüsse,
Mariluz
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:01 Mo 07.04.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Dann rechnet halt das aus.
[mm] =\left(\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}\*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}\right)*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+\left(\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}\right)*\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}+\left(\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}\*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}\right)*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}
[/mm]
[mm] =(m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})*\vektor{v_{1}\\v_{2}\\v_{3}}+(v_{1}r_{1}+v_{2}r_{2}+v_{3}r_{3})*\vektor{m_{1}\\m_{2}\\m_{3}}+(m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+m_{3}v_{3})*\vektor{r_{1}\\r_{2}\\r_{3}}
[/mm]
[mm] =\vektor{(m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})v_{1}\\(m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})v_{2}\\(m_{1}r_{1}+m_{2}r_{2}+m_{3}r_{3})v_{3}}+.....
[/mm]
=...
Somit bekommt ihr am Ende einen Vektor, den man evtl mit Hilfe des Skalarproduktes noch vereinfachen kann. Dazu wendet mal die Definition des Skalarproduktes "Rückwärts" an, also
[mm] \vektor{x\\y\\z}*\vektor{u\\v\\w}=xu+yv+zw.
[/mm]
Versucht mal, im entstehenden Vektor dazu passend auszuklamern.
Marius
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