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| Aufgabe |
Machen Sie bei folgenden Termen den Nenner rational
[mm]\bruch{4}{{\sqrt[3]{2} }}[/mm]
Lösung = [mm]2\sqrt[3]{4} [/mm]
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Hallo :)
Ich habe mal eine Frage zur obigen Aufgabe. Gibt es eine einfache Erklärung, wie man zu dieser Lösung kommt? Ich habe hier einige solcher Aufgaben vorliegen, aber verstehe die vorgehensweise nicht. Was rationale Zahlen sind ist mir klar, sprich beim Ergebnis wäre der Nenner ja 1 (der Zähler ist ja wiederrum irrational - aber dieser soll ja laut Aufgabe nicht berücksichtigt werden).
Es soll nicht darum gehen den Term mittels Taschenrechner auszurechnen, sondern quasi zu "vereinfachen".
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Hallo chaoslegend,
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> Machen Sie bei folgenden Termen den Nenner rational
> [mm]\bruch{4}{{\sqrt[3]{2} }}[/mm]
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> Lösung = [mm]2\sqrt[3]{4}[/mm]
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> Hallo :)
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> Ich habe mal eine Frage zur obigen Aufgabe. Gibt es eine
> einfache Erklärung, wie man zu dieser Lösung kommt? Ich
> habe hier einige solcher Aufgaben vorliegen, aber verstehe
> die vorgehensweise nicht. Was rationale Zahlen sind ist mir
> klar, sprich beim Ergebnis wäre der Nenner ja 1 (der
> Zähler ist ja wiederrum irrational - aber dieser soll ja
> laut Aufgabe nicht berücksichtigt werden).
>
Um den den Nenner rational zu machen,
erweiterst Du den Ausdruck mit einem bestimmten Bruch.
> Es soll nicht darum gehen den Term mittels Taschenrechner
> auszurechnen, sondern quasi zu "vereinfachen".
>
Gruss
MathePower
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| Aufgabe | [mm]\bruch{16}{\wurzel{5}-\wurzel{3}}[/mm]
Lösung = [mm]8(\wurzel{5}+\wurzel{3})[/mm] |
Okay, die vorherige Aufgabe kann ich mir dann wie folgt erklären:
- ich erweitere mit [mm]\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}[/mm] bzw. [mm](\sqrt[3]{2})^2[/mm] und erhalte:
[mm]\bruch{4*\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}}[/mm]
... was dem Ergebnis entspricht. Ist das der richtige Weg zum Ziel? Oder geht es auch einfacher?
Bei der 2. Aufgabe (s.o.) kann ich mir nicht wirklich erklären mit was ich erweitern muss. Gibt es einen einfachen weg, wie man darauf kommt bzw. eine allgemeine "Herangehensweise" für diesen Typ von Aufgaben?
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> [mm]\bruch{16}{\wurzel{5}-\wurzel{3}}[/mm]
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> Lösung = [mm]8(\wurzel{5}+\wurzel{3})[/mm]
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> Okay, die vorherige Aufgabe kann ich mir dann wie folgt
> erklären:
hallo,
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> - ich erweitere mit [mm]\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}[/mm] bzw.
> [mm](\sqrt[3]{2})^2[/mm] und erhalte:
>
> [mm]\bruch{4*\sqrt[3]{2}*\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{2}}[/mm]
> ... was dem Ergebnis entspricht. Ist das der richtige Weg
> zum Ziel? Oder geht es auch einfacher?
ne das ist schon richtig.
du musst den nenner so oft erweitern, bis die potenz die wurzel "aufhebt" und der nenner rational wird
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> Bei der 2. Aufgabe (s.o.) kann ich mir nicht wirklich
> erklären mit was ich erweitern muss. Gibt es einen
> einfachen weg, wie man darauf kommt bzw. eine allgemeine
> "Herangehensweise" für diesen Typ von Aufgaben?
also bei so etwas muss man sich immer auf das 3. binom berufen, nur eben umgekehrt:
[mm] (a-b)*(a+b)=a^2-b^2
[/mm]
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gruß tee
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| Aufgabe | [mm]\bruch{2-\wurzel{5}}{\wurzel{5}-1}-\bruch{\wurzel{45}-3}{4}[/mm]
Lösung = [mm]-\bruch{1}{2}\wurzel{5}[/mm] |
Okay, die 3. binomische Formel mal wieder :D Gut, klappt soweit wunderbar. Eine Aufgabe von diesem Typ hätte ich noch.
Wenn ich hier den ersten Term wieder mit Hilfe der 3. binomischen Formel erweitere und dann beide Brüche zusammenfasse, komme ich auf folgendes Ergebnis:
[mm]\bruch{\wurzel{5}-\wurzel{45}}{4}[/mm]
Mein Taschenrechner verrät mir, das [mm]\wurzel{45}[/mm] = [mm]3*\wurzel{5}[/mm] entspricht, womit man ja dann auf die richtige Lösung kommt. Gibt es irgendeinen Trick / eine Regel, die mir sagt, dass [mm]\wurzel{45}[/mm] = [mm]3*\wurzel{5}[/mm] entspricht? (außer meinen Taschenrechner zu befragen) Wir sollen die Rechnungen möglichst ohne Taschenrechner durchführen, sonst könnte man ja einfach die Terme eintippen und hätte das Ergebnis :)
Oder ist vlt. mein gewählter Weg zu kompliziert und es gibt einen einfacheren?
Danke schonmal :)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:44 Mi 12.10.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo chaoslegend!
Man kann hier "partielles Wurzelziehen" anwenden.
Es gilt:
[mm] $\wurzel{45} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9*5} [/mm] \ = \ [mm] \wurzel{9}*\wurzel{5} [/mm] \ = \ [mm] 3*\wurzel{5}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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aha, verstehe :) dankeschön :)
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