Vereinfachen und Ausklammern < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Vereinfache mittels Ausklammern und den binomischen Formeln.
[mm] \bruch{5x (x^2y^2 + 2xy + 1}{(xy+1)^2} [/mm] |
Hallo allesamt!
Ich bin mir nicht sicher, ob ich da alles richtig gemacht habe...
= [mm] \bruch{5x (x^2y^2 + 2xy + 1)}{x^2y^2 + 1} [/mm] Wegkürzen von [mm] x^2y^2 [/mm] und 1
= 5x * 2xy
= 10 [mm] x^{2}y
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Außerdem bin ich mir immer noch nicht sicher, wann man immer die binomischen Formeln verwendet... Wenn nur 2 Variablen in der Klammer stecken oder dürfen es auch mehr sein? (ich hoffe, das war verständlich...)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:02 Do 14.01.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Außerdem bin ich mir immer noch nicht sicher, wann man
> immer die binomischen Formeln verwendet... Wenn nur 2
> Variablen in der Klammer stecken oder dürfen es auch mehr
> sein? (ich hoffe, das war verständlich...)
Da es nur drei binomische Formeln gibt, und diese von immer nur zwei Summanden in der Klammer ausgehen, gelten die Formeln auch nur für zwei Summanden.
Natürlich darf auch ein Summand wieder aus einer Summe bestehen, so dass du evtl am Ende noch auf diese Summanden wieder binomische Formeln anwenden kannst.
Beispiel:
[mm] (\underbrace{(p+q)}_{a}+\underbrace{(r+s)}_{b})^{2}=\underbrace{(p+q)^{2}}_{a^{2}}+\underbrace{2\cdot(p+r)\cdot(r+s)}_{2ab}+\underbrace{(r+s)^{2}}_{b^{2}}
[/mm]
Die Teilterme a², b² und 2ab kannst du nun noch weiter ausmultiplizieren, wenn gewollt.
Marius
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Das heißt, ich kann die binomischen Formeln immer nur bei 2 Summanden in der Klammer anwenden?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:36 Do 14.01.2016 | | Autor: | chrisno |
Vereinfacht gesagt, ja.
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[mm] (xy+1)^2 [/mm] ergibt nicht [mm] (x^2y^2+1). [/mm] Genau hier sollst du die erste Binomische Formel anwenden ( [mm] (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 [/mm] ). Dann ist das Wegkürzen ganz einfach.
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Okay, dann habe ich:
[mm] \bruch{5x (x^2y^2 + 2xy + 1)}{xy^2 + 2xy + 1} [/mm] Wegkürzen von 2xy und 1
= [mm] \bruch{5x (x^2y^2)}{xy^2}
[/mm]
= [mm] 5x^2
[/mm]
Ist das so korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:38 Do 14.01.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo, nein [mm] $5x^2$ [/mm] ist nicht korrekt.
Man kann nur kürzen, wenn der Ausdruck den man kürzen möchte, im Nenner und Zähler als Multiplikation auftaucht. Das bedeutet
[mm] $\bruch{2x+2x}{2x} \not= [/mm] 2x$ Man kürzt wie folgt [mm] $\bruch{2x(1+1)}{2x}$ [/mm]
Der Ausdruck 2x wird nun oben an (1+1) multipliziert und untern an eine 1, also 2x*1, somit kann man nun 2x kürzen und erhält (1+1)=2.
In meiner Schulzeit gab es die Eselsbrücke
"Aus Differenzen und Summen kürzen nur die Dummen"
Zu deinem Problem
Gibt es einen Wert/Ausdruck den du aus Zähler und Nenner ausklammern
kannst, wenn ja welcher?
und sieh dir mal den Ausdruck
[mm] $$\bruch{5x(x^2y^2+2xy+1)}{(xy+1)^2} [/mm] $$ genau an. Was fällt dir im Bezug auf deinen Ausdruck auf?
Mfg Hias
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Upps... [mm] (xy)^2 [/mm] sind ja nicht [mm] xy^2, [/mm] sondern [mm] x^2y^2, [/mm] das heißt, ich kann alles wegkürzen bis auf 5x :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 14.01.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo.
Zu deiner zweiten Frage, ja es können auch mehrere Variablen in der Klammer stehen
Beispielsweise kann man $ [mm] (x+y-z)^2 [/mm] $ durch nacheinander-anwenden der Binomischen Formeln ausrechnen. Dazu kann man z.b: x+y zusammen betrachten, dann erhält man
[mm] $(x+y-z)^2=(x+y)^2-2z(x+y)+z^2$ [/mm]
Hier haben wir die zweite Binomische Formel verwendet für [mm] $(a-z)^2$ [/mm] verwendet für $a=x+y$ wendet man nun die erste binomische Formel auf den ersten Summanden an erhält man insgesamt
[mm] $$x^2+2xy+y^2-2z(x+y)+z^2$$
[/mm]
Weiter kann man auch verschiedene Exponentengrade der Klammer betrachten, vergleiche dazu "Pascalsches Dreieck" bei Wikipedia.
MfG
Hias
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Vielen Dank für die Antwort! Das heißt, dass man die binomische Formel immer dann anwendet, sobald mindestens 1 Variable in einer Klammer steht (in diesem Fall ist es auch noch notwendig (soweit ich verstanden habe), dass auch mindestens eine Zahl in der Klammer steht) und diese Klammer zum Quadrat genommen wird. Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:44 Do 14.01.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo,
was in der Klammer steht ist egal, also ob Zahl oder Variable macht keinen Unterschied. Ein Beispiel
[mm] $(1+5)^2=6^2*35$ [/mm] mit der ersten Binomischen Formel würde man erhalten
[mm] $(1+5)^2=1^2+2*1*5+5^2=1+10+25=36$ [/mm]
Das muss natürlich auch funktionieren, da x nur als Platzhalter für eine beliebige Zahl steht. Sobald du eine Klammer im Exponenten stehen hast brauchst du immer die Binomischen Formeln, wobei man natürlich immer auf die dritte Binomische Formel achten muss, da die nicht als [mm] $Klammer^{Exponent}$ [/mm] geschrieben wird.
Ich hoffe das hilft dir ansonsten frag einfach nach.
Mfg Hias
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Um nochmal sicherzugehen, dass ich das richtig verstanden habe:
Binomische Formeln werden sowohl bei Variablen als auch Zahlen verwendet, wenn mindestens 2 Zahlen oder Variablen (oder beides) in einer Klammer stehen und diese miteinander addiert oder voneinander subtrahiert werden sollen, sowie im Exponent eine 2 steht.
Jetzt richtig? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:51 Do 14.01.2016 | | Autor: | Hias |
Ja so kann man es sagen, wobei wenn nur 2 Zahlen in der Klammer stehen verrechnet man diese natürlich direkt ohne Binomische Formel. In meinem Beispiel kam beidemal das selbe raus. Es wäre möglich aber würde den Rechenaufwand unnötig erhöhen. Sobald in deiner Klammer eine Variable auftaucht muss man die Binomischen Formeln verwenden, da man nun die Variable und die Zahl nicht mehr verrechnen kann.
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Ich danke euch für eure Hilfe!
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