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| Aufgabe | | Berechnen Sie: [mm] \vektor{n \\ 0}+3 \vektor{n \\ 1}+ [/mm] 5 [mm] \vektor{n \\ 2}+...+(2n+1) \vektor{n \\ n} [/mm] |
Hallo,
wollte mal fragen, ob mir bei der Aufgabe vielleicht jemand weiterhelfen könnte.Der zweidimensionale Vektor soll ein Binomialkoeffizient sein. Ich habe bereits versucht die Aufgabe zu lösen und bin mir nicht sicher, ob mein Lösungsansatz richtig ist oder ob der Ausdruck sich noch vereinfachen lässt. Ich habe die Summanden so zerlegt, dass ich folgenden Ausdruck habe:
[mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1) [mm] \vektor{n \\ k}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n} [/mm] (2k+1) n!/(k!(n-k)!)
Da habe ich das ganze nochmal in zwei Summenzeichen zerlegt, allerdings bezweifle ich, dass das den Ausdruck noch weiter vereinfachen könnte. Also wenn jemand von euch ne Idee hat, ich würde mich freuen. Vielen Dank im voraus.
Gruss
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Huhu,
das kann man schon noch schöner hinschreiben.
Du kannst entweder per vollständiger Induktion beweisen, dass
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] (2k+1) [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] (n+1)2^n$ [/mm] gilt (übrigens fängt die Summe bei $k=0$ an), oder du überlegst dir, wie man das aus der Summenformel herausfinden kann durch geschickte Umordnung und ausnutzen von
$ [mm] \summe_{k=0}^{n} \vektor{n \\ k} [/mm] = [mm] 2^n$
[/mm]
MFG,
Gono.
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