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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:37 Do 11.04.2013 | | Autor: | piet86 |
| Aufgabe 1 | Gegeben sei die Menge der Funktion
V = [mm] {f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_{1}+c_{2}sin(x)+c_{2}sin(2x); c_{1},c_{2},c_{3}\in \IR}
[/mm]
Mit der punktweisen Addition von Funktionen ((f+g)(X) = f(x)+g(x)) und der skalaren Multiplikation ((cf)(x) = cf(x), c [mm] \in \IR) [/mm] bildet diese Menge einen Vektorraum.
(a) Welche der folgenden Funktionen sind Elemente von V?
g(x)=1
h(x)=2+sin(x)
l(x)=2sin(x)
k(x)= [mm] 5sin^2(x)+3
[/mm]
m(x)=2sin(x)cos(x) |
| Aufgabe 2 | | (b) Zeigen Sie, dass für beliebige [mm] \alpha,\beta,\gamma \in \IR [/mm] ein Element von V ist. |
| Aufgabe 3 | | e) Welche Dimension hat der Vektorraum V? |
Vektoren bilden einen mathematischen Vektorraum.
Mir ist nicht ganz klar was mit punktweiser Addition von Funktionen gemeint ist. Addiere ich einfach g(x) mit f(x) und bekommen dann [mm] 1+c_{1}+c_{2}sin(x)+c_{2}sin(2x) [/mm] raus?
So wie ich es verstanden haben, sind die Element von V Vektoren, die gleichzeitig Funktion sind.
Ein Vektorraum besteht doch aus einer Menge von Element, die addiert werden können (müssen?). Aus dem Körper A kann mann weitere Zahlen auf die vektoren addieren.
Eigentlich müßte ich doch die Elemente jeweils miteinander addieren und schauen, ob f(x) rauskommt, oder? Ich würde daher sagen, dass nur g(x); h(x) und l(x) zu dem Vektorraum gehören.
zu (b)
da ich ja allle Element aus [mm] \IR [/mm] verwenden darf müßten ja auch [mm] \alpha,\beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] beliebig sein. Reicht diese Begründung zu der Beantwortung der Aufgabe aus?
zu e)
Ich weiß, dass die Zahl der Basisvektoren der Dimension des Vektorraums entspricht. Da wir nur 3 Summanden habe, gehen davon aus,dass wir im kartesischen koordinatensystem befinden und uns in der dritten Dimension befinden. Richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Do 11.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Gegeben sei die Menge der Funktion
>
> V = [mm]{f:[0,2\pi] \to \IR; f(x) = c_{1}+c_{2}sin(x)+c_{2}sin(2x); c_{1},c_{2},c_{3}\in \IR}[/mm]
>
> Mit der punktweisen Addition von Funktionen ((f+g)(X) =
> f(x)+g(x)) und der skalaren Multiplikation ((cf)(x) =
> cf(x), c [mm]\in \IR)[/mm] bildet diese Menge einen Vektorraum.
>
> (a) Welche der folgenden Funktionen sind Elemente von V?
> g(x)=1
> h(x)=2+sin(x)
> l(x)=2sin(x)
> k(x)= [mm]5sin^2(x)+3[/mm]
> m(x)=2sin(x)cos(x)
> (b) Zeigen Sie, dass für beliebige [mm]\alpha,\beta,\gamma \in \IR[/mm]
> ein Element von V ist.
> e) Welche Dimension hat der Vektorraum V?
> Vektoren bilden einen mathematischen Vektorraum.
> Mir ist nicht ganz klar was mit punktweiser Addition von
> Funktionen gemeint ist. Addiere ich einfach g(x) mit f(x)
> und bekommen dann [mm]1+c_{1}+c_{2}sin(x)+c_{2}sin(2x)[/mm] raus?
Nimm an, f und g seien Funktionen, die beide den Definitionsbereich D haben, also
f,g :D [mm] \to \IR.
[/mm]
Nun kannst Du daraus eine neue Funktion f+g basteln. Dann ist die Frage, wie diese neue Funktion definiert ist. Sie ist für x [mm] \in [/mm] D so definiert:
(f+g)(x):=f(x)+g(x)
> So wie ich es verstanden haben, sind die Element von V
> Vektoren, die gleichzeitig Funktion sind.
ja
> Ein Vektorraum besteht doch aus einer Menge von Element,
> die addiert werden können (müssen?)
ja
> . Aus dem Körper A
K ?
> kann mann weitere Zahlen auf die vektoren addieren.
Nein. Du kannst Elemente des Körpers und Elemente des Vektorraumes mit einander multiplizieren (Skalarmultiplikation)
> Eigentlich müßte ich doch die Elemente jeweils
> miteinander addieren und schauen, ob f(x) rauskommt, oder?
> Ich würde daher sagen, dass nur g(x); h(x) und l(x) zu dem
> Vektorraum gehören.
Die Elemente des obigen Vektorraumes V sind Funktionen f, die die Gestalt
f(x) = [mm] c_{1}+c_{2}sin(x)+c_{2}sin(2x)
[/mm]
haben, wobei [mm] c_{1},c_{2},c_{3}\in \IR.
[/mm]
g(x)=1 : g gehört zu V, denn $g(x)=1+0*sin(x)+0*sin(2x)$
h(x)=2+sin(x): h gehört zu V, denn $h(x)=2+1*sin(x)+0*sin(2x)$
Wegen sin(2x)=2sin(x)*cos(x), gehört auch m zu V.
>
> zu (b)
> da ich ja allle Element aus [mm]\IR[/mm] verwenden darf müßten ja
> auch [mm]\alpha,\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] beliebig sein. Reicht diese
> Begründung zu der Beantwortung der Aufgabe aus?
Kann ich Dir nicht sagen, denn so wie Du Aufgabe b) oben formuliert hast, ist die Aufgabe nicht zu verstehen !
>
> zu e)
> Ich weiß, dass die Zahl der Basisvektoren der Dimension
> des Vektorraums entspricht. Da wir nur 3 Summanden habe,
> gehen davon aus,dass wir im kartesischen koordinatensystem
> befinden und uns in der dritten Dimension befinden.
> Richtig?
Na ja, es es stimmt, das dim(V)=3 ist. Gibt dazu eine Basis von V an !
FRED
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