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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:01 Sa 09.04.2005 | | Autor: | Marie |
Hallo ihr lieben!
In der Schule haben wir folgende Aufgabe zu rechnen bekommen:
Es geht um die Seitenhalbierenden eines Dreiecks..
A (2/0/1) B(3/2/1) C(5/6/4) (Punkte des Dreiecks)
Behauptung: Die Seitenhalbierenden schneiden sich in einem Punkt.
.. so.. bei der Lösung der Seitenhalbierenden [mm] s_{a} [/mm] haben wir folgendes herausbekommen:
[mm] s_{a} [/mm] : x = [mm] \vektor{2 \\ 0 \\ 1} [/mm] + r * 1/2 [ ( [mm] \vektor{1 \\ 2 \\ 0} [/mm] ) + ( [mm] \vektor{3 \\ 6 \\ 3} [/mm] ) = ... (die Parameterdarstellung)
ich verstehe nun nicht, warum man die vektoren mit 1/2 malnehmen muss. ich hätte die jetzt einfach ohne die 1/2 so geschrieben!! könnte mir da jemand weiterhelfen?
marie
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Hallo Marie!
Die Seitenhalbierende [mm] $s_a$ [/mm] ist die Gerade, den Punkt $A$ durchläuft und den Punkt, der genau auf der Hälfte zwischen $B$ und $C$ liegt, diesen bezeichne ich jetzt mal mit $A'$.
Vom Ursprung aus kommt man zu $A'$, indem man erst zu $B$ geht, und dann die Hälfte des Weges nach $C$ zurücklegt. Also:
[mm] $A'=B+\bruch{1}{2}(C-B)=\bruch{1}{2}(B+C)=\bruch{1}{2}\left(\vektor{3\\2\\1}+\vektor{5\\6\\4}\right)$.
[/mm]
Jetzt stellst du die Gleichung der Gerade [mm] $s_a$ [/mm] auf, die durch $A$ und $A'$ läuft:
[mm] $s_a(r)=A+r*(A'-A)=\vektor{2\\0\\1}+r*\bruch{1}{2}\left(\vektor{1\\2\\0}+\vektor{3\\6\\3} \right)$.
[/mm]
So hast du es wahrscheinlich schon in deinem Heft stehen, ich schreib's nur nochmal der Vollständigkeit halber hin.
Jedenfalls kommt der Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] vom Rechenweg.
Aber: Weglassen könntest du es jetzt trotzdem. Denn $r$ durchläuft die reellen Zahlen und durch eine sogenannte Transformation $t=2r$ kämest du dann auf dieselbe Gerade, aber ohne den Faktor [mm] $\bruch{1}{2}$, [/mm] und jetzt eben abhängig von $t$ statt von $r$.
Langer Rede kurzer Sinn: Du MUSST es nicht mit [mm] $\bruch{1}{2}$ [/mm] malnehmen. Es kommt nur durch den Rechenweg so heraus. Und wenn du es weglässt solltest du auf jeden Fall eine kurze Bemerkung dazu machen.
Gruß, banachella
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