Vektorrechnung in der Physik < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:07 Mi 30.08.2006 | | Autor: | murmel |
Ich habe keine spezielle Aufgabenstellung, es handelt sich eher um ein Wiederholungsproblem(chen).
Also, das Drehmoment ist definiert durch das Vektorprodukt aus Kraftarm mal Kraft.
[mm](1.0)[/mm] [mm] M: = F \times r [/mm]
oder
[mm](1.1)[/mm] [mm] M = \vektor{x_F \\ y_F \\ z_F} \times \vektor{x_r \\ y_r \\ z_r} [/mm]
Betrachte ich den "eindimensionalen" Fall - also fordere ich, dass alle
y-, und alle z-Komponenten Null sind - so dass, in (1.1) eingesetzt (1.2) entsteht, mit:
[mm](1.2)[/mm] [mm] M = \vektor{x_F \\ 0 \\ 0} \times \vektor{x_r \\ 0 \\ 0} [/mm]
So ist das resultierende Vektorprodukt Null.
Ist die Begründung richtig, wenn ich "sage", dass, auf Grund des mit Null identischen Vektorproduktes, aus Gl. (1.0) Gl. (2.0) entsteht?
[mm](2.0)[/mm] [mm] M = F*r [/mm] (Also: "F mal r")
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke für Hilfe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:41 Mi 30.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Murmel
> Ich habe keine spezielle Aufgabenstellung, es handelt sich
> eher um ein Wiederholungsproblem(chen).
>
> Also, das Drehmoment ist definiert durch das Vektorprodukt
> aus Kraftarm mal Kraft.
>
> [mm](1.0)[/mm] [mm]M: = F \times r[/mm]
>
> oder
>
> [mm](1.1)[/mm] [mm]M = \vektor{x_F \\ y_F \\ z_F} \times \vektor{x_r \\ y_r \\ z_r}[/mm]
>
> Betrachte ich den "eindimensionalen" Fall - also fordere
> ich, dass alle
> y-, und alle z-Komponenten Null sind - so dass, in (1.1)
> eingesetzt (1.2) entsteht, mit:
>
> [mm](1.2)[/mm] [mm]M = \vektor{x_F \\ 0 \\ 0} \times \vektor{x_r \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> So ist das resultierende Vektorprodukt Null.
Richtig!
> Ist die Begründung richtig, wenn ich "sage", dass, auf
> Grund des mit Null identischen Vektorproduktes, aus Gl.
> (1.0) Gl. (2.0) entsteht?
>
> [mm](2.0)[/mm] [mm]M = F*r[/mm] (Also: "F mal r")
Nein! denn F*r ist doch nicht 0
Auch anschaulich: Kraft in Richtung des Radius kann gar nicht drehen, wenn du an einem Stock ziehst, in stockrichtung, kannst du ihn nicht drehen, egal wie gross die Kraft. Wenn du gerade auf einen Nagel schlägst, verbiegt er sich NICHT sondern gent in die Wand!
M=f*r gilt, wenn die Kraft senkrecht zum Radius ist also z.bsp Kraft in x-Richtung Radius in y oder z- Richtung!
Gruss leduart
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Danke für Hilfe
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:58 Do 31.08.2006 | | Autor: | murmel |
Ok, 1.0 gilt nur wenn sowohl die Kraft als auch Hebelarm senkrecht zu M sind.
Greift die Kraft nicht senkrecht an, müsste man, rein mathematisch betrachtet das Spatprodukt anwenden 8-?, da ja kein rechtes Dreibein gebildet wird?
Und wie würde sich das auf die Formel auswirken wenn alle Winkel < 90°?
(Bild 1)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Noch einmal zu 1.0. Der Betrag des Drehmomentes lässt sich mit der Gl.
[mm] \left| M \right| = \left| F \right| * \left| r \right| * \sin \phi[/mm]
ausdrücken, wenn [mm] \sin \phi [/mm] = 1 ist -also die Kraft senkrecht angreift -
[mm] \left| M \right| = \left| F \right| * \left| r \right|[/mm]
Ziehe ich meine vorherige Forderung hinzu das alle y-, und z-Komponenten gleich Null sind, entsteht der Ausdruck
[mm] \left| M \right| = \wurzel{(x_F)^2 + (0)^2 + (0)^2} * \wurzel{(x_r)^2 + (0)^2 + (0)^2}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] M = \wurzel{(x_F)^2} * \wurzel{(x_r)^2}[/mm]
[mm] \gdw
[/mm]
[mm] M = x_F * x_r[/mm]
oder [mm] M = F *r[/mm]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
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Hi murmel!
> Ok, 1.0 gilt nur wenn sowohl die Kraft als auch Hebelarm
> senkrecht zu M sind.
>
> Greift die Kraft nicht senkrecht an, müsste man, rein
> mathematisch betrachtet das Spatprodukt anwenden 8-?, da ja
> kein rechtes Dreibein gebildet wird?
>
> Und wie würde sich das auf die Formel auswirken wenn alle
> Winkel < 90°?
Hierbei setzt du das Drehmoment voraus, obwohl es eine Ursache der Kraft ist.
Das Drehmoment, dessen Definition
[mm] \vec M = \vec r \times \vec F = - \, \vec F \times \vec r [/mm]
(Kreuzprodukt ist antikommutativ) lautet, ist gleich Null, wenn
a) [mm] \vec F = \vec 0 [/mm] (Trivialfall) oder
b) [mm] \vec F [/mm] parallel zu [mm] \vec r [/mm] ist,
d.h. du erhältst stets ein Drehmoment für [mm] 0° < \phi \le 90° [/mm]. Man kann sagen, dass nur die Kraftkomponente senkrecht zu dem Hebelarm (effektiv) wirksam ist. Sofern das Drehmoment [mm] \vec M \not = 0 [/mm] ist, steht es senkrecht auf der von [mm] \vec F [/mm] und [mm] \vec r [/mm] aufgespannten Ebene, es wird ein Dreibein gebildet. Mit dem Spatprodukt wirst du hier nicht viel anfangen können, sofern du nicht an dem Volumen des durch [mm] \vec M, \vec r [/mm] und [mm] \vec F [/mm] aufgespannten Spats interessiert bist.
Zu deiner anfänglichen Herleitung: Du behauptest ja, dass aus [mm] \vec M = \vec r \times \vec F = 0 [/mm] der Ausdruck [mm] |\vec M| = F_x \cdot r_x [/mm] folgt. Das ist offenkundig ein Widerspruch, zumal im angenommenen Fall [mm] \vec r [/mm] und [mm] \vec F [/mm] parallel sind (da nur x-Komponenten). In deinem zweiten Post setzt du zunächst [mm] \phi = 90° [/mm] voraus und gehst dann zu deinem eindimensionalen Fall über. Aber dies widerspricht sich auch, denn wie können zwei Punkte [mm] (x_F,0,0)^T [/mm] und [mm] (x_r,0,0)^T [/mm] senkrecht aufeinander stehen?
Auch wenn du mit [mm] M = F \cdot r [/mm] (Vektoren als Vektoren auch kenntlich machen!) das Skalarprodukt meinst, passt deine Herleitung nicht, zumal dann eine Verwechslung zwischen Vektor- und Skalarprodukt vorliege.
Freundliche Grüße,
Lightningfox
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:10 Do 31.08.2006 | | Autor: | murmel |
@ Lightning Fox
Vielen Dank für die Prügel -ähhh, ich meine Hilfe, allerdings muss ich zu meiner Verteidigung, "sagen": es war gestern sehr spät, als ich diese Mitteilung verfasste. 
Ok, der Fehler in der Schreibweise des Vektorproduktes hätte mir auffallen müssen.
Der Fall, das ich eine "eindimensionale" Betrachtung gefordert habe, war ja dann ein Schuss in den Ofen. Naja, gut, ich glaub' beim nächsten Mal schalt ich erst das Hirn ein und schreibe dann wohl nicht mehr nach 0:00 Uhr!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:43 Do 31.08.2006 | | Autor: | murmel |
Berrechnung des Betrages des Drehmomentes
$ [mm] \left| M \right| [/mm] = [mm] \left| F \right| \cdot{} \left| r \right| \cdot{} \sin \phi [/mm] $
$ [mm] \left| M \right| [/mm] = [mm] \wurzel{(x_F)^2 + (y_F)^2 + (z_F)^2} \cdot{} \wurzel{(x_r)^2 + (y_r)^2 + (z_r)^2} \cdot{} \sin \phi [/mm] $
Ist
$ [mm] \vec [/mm] F = [mm] \begin{pmatrix} 0 \\ y_F \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
und ist
$ [mm] \vec [/mm] r = [mm] \begin{pmatrix} x_r \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $
und [mm] \sin \phi [/mm] ist 1, dann folgt:
$ [mm] \left| M \right| [/mm] = [mm] \wurzel{0 + (y_F)^2 +0} \cdot{} \wurzel{(x_r)^2 + 0 + 0} [/mm] $
[mm] \Rightarrow
[/mm]
$ [mm] \left| M \right| [/mm] = [mm] y_F \cdot{} x_r [/mm] $ [mm] \Rightarrow [/mm] $ M = [mm] y_F \cdot{} x_r [/mm] $ bzw. $ M = F * r $
Das müsste doch jetzt stimmen?
Meine Frage war eigentlich so zu verstehen, wenn der Winkel zwischen dem Vektor $ [mm] \vec [/mm] M $
und dem Vektor $ [mm] \vec [/mm] r $ <90° ist, welcher Formalismus greift dann? Denn offensichtlich gilt das Vektorprodukt ja nur, wenn der von $ [mm] \vec [/mm] a $ und $ [mm] \vec [/mm] b $ aufgespannte Vektor $ [mm] \vec [/mm] M $ mit $ [mm] \vec [/mm] a $ und $ [mm] \vec [/mm] b $ einen rechten Winkel bildet!
Kommen da - mal ganz unqualifiziert - neue Komponenten dazu?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:08 Do 31.08.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo Murmel
Du hast noch nicht kapiert, dass das Drehmoment DEFINIERTwird durch das kreuzprodukt zw.Vektor r Und Vektor F. Das Kreuzprodukt steht IMMER sekrecht auf der Ebene in der r und F liegen.
D.h. das drehmoment kann nur 90°zu r und zu F sein. R und F müssen natürlich nicht senkrecht aufeinander sein. solange sie einen Winkel>0 einschließen entstet ein Drehmoment! Wenn du eine Pappe auf den Tischlegst, und irgendwie in der Tischebene eine Kraft anwendest, kannst du die Pappe nicht vom Tisch wegdrehen, nur auf dem Tisch! Die Richtung des Drehmoments ist definiert! als die Richtung der Drehachse!
Jetzt alles klar?
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:50 Do 31.08.2006 | | Autor: | murmel |
Achso, nagut. Danke!
Also ist dafür folgende Regel?
Und damit sich das besser merken lässt, kam man auf die Idee zu sagen: "Man nehme die rechte Hand, tue so als umschließe man einen Zylinder, wobei man den Daumen streckt.
Der Daumen zeigt in Richtung des Drehmomentes und die gekrümmten Finger in Richtung der Drehrichtung!
Ich hoffe icht trete wieder in einen riesen großen Fettnapf...
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