Vektorrechnung Pyramide < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:28 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | Gegeben sind die Punkte A(4/2/0), B(2/4/0), C(0/4/2), D(0/2/4).
a) Zeigen Sie, dass die Strecken AB, BC, CD gleich lang sind.
b) Geben Sie die allgemeine Ebenengleichung jener Ebene [mm] \varepsilon_1, [/mm] in der die Punkte A, B und C liegen. |
Hallo,
zunächst mal nur a) und b).
a) Ist natürlich so weit klar.
b) Hingegen verwirrt mich etwas.
Ich habe die Vektoren [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BA} [/mm] ausgerechnet und den Normalvektor gebildet. Es entsteht so der Vektor [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0}. [/mm] Wenn ich nun die Normalvektorform bilde, bekomme ich:
[mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] * [mm] \vec{x} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 0} [/mm] * [mm] \vektor{4 \\ 2 \\ 0} [/mm] (Punkt A eingesetzt)
Demnach müsste doch die allgemeine Form für die Ebene [mm] \varepsilon_1 [/mm] lauten:
x+y+z=0
In meiner Lösung steht aber x+y+z=6 Wo liegt da der Fehler?
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:36 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Hans11 |
Hallo
Die Vektoren sind linear abhängig (insofern ist es auch nicht weiter verwunderlich, dass das Kreuzprodukt 0 ergibt), also spannen die Vektoren auch keine Ebene auf.
Einen der beiden Vektoren solltest du also durch einen geeigneten anderen Vektor ersetzen. Durch welchen (z.B.)?
Gruß
Hans
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:47 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | c) zeigen Sie, dass der Punkt D auch in dieser Ebene liegt.
d) die Punkte A, B, C und D lassen sich durch zwei Punkte E und F zu einem ebenen, regelmäßigen Sechseck mit dem Mittelpunkt M [mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2} [/mm] ergänzen. Bestimmen Sie die Koordinaten von E und F.
e) Das regelmäßige Sechseck ist die Basisfläche einer geraden Pyramide, deren Spitze S in der xy-Ebene liegt. Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze S und das Volumen dieser regelmäßigen sechseckigen Pyramide. |
Hallo,
danke für die Antwort.
Okay, dann ists klar dass das nicht funktionieren kann.
Ich habe nun den Normalvektor von [mm] \overrightarrow{AB} [/mm] und [mm] \overrightarrow{BC}gebildet, [/mm] so funktioniert es.
c) ist so weit auch klar.
d) ist auch klar gewesen.
e) allerdings nicht mehr ganz.
Wie komme ich da zum Punkt S?
Ich hätte gesagt, ich nehme abermals einen Normalvektor der Ebene, den könnte ich dann an den Vektor des Mittelpunkts der Ebene "ansetzen", so würde zumindest einmal die Richtung zu S gegeben sein. Allerdings fehlt mir dann ja noch die richtige Höhe. Wie gelange ich an die?
"Der Punkt S in der xy-Ebene" sagt mir leider nichts. Was ist damit gemeint? Kann man dadurch die Höhe ermitteln?
Danke und beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:53 Mi 05.01.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
soweit ist dein vorgehen zu e richtig, die Spitze findest du, indem du mit der Lotgeraden durch den Mittelpunkt des Sechsecks die z=0 Ebene schneidest.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Danke für die Antwort, Leduart.
Und wie mache ich das dann in der Praxis? Das ist mir im Augenblick nicht ganz klar, leider.
Das bedeutet ich rechne z.B. [mm] \overrightarrow{0M} \vektor{2 \\ 2 \\ 2} +\overrightarrow{n} \vektor{1 \\ 1 \\ 1} [/mm] = [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] ?
Edit:
Oder besser gefragt: wie komme ich an die xy Ebene und wie schneide ich den neuen Vektor damit?
Beste Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Mi 05.01.2011 | | Autor: | Pappus |
Guten Abend!
> Edit:
> Oder besser gefragt: wie komme ich an die xy Ebene und wie
> schneide ich den neuen Vektor damit?
>
> Beste Grüße
Leduart hat Dir doch die Gleichung der xy-Ebene schon genannt: Für alle Punkte dieser Ebene gilt: z = 0 und das ist die Gleichung der Ebene.
Gruß
Pappus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:44 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke für die Antwort.
Tut mir leid, aber das verstehe ich gerade tatsächlich nicht.
Ich kann mir im Augenblick gerade nicht vorstellen, wie ich da zur Höhe komme.
Ich finde leider keinen Rechenansatz. Das heißt, ich weiß nicht wie ich den Vektor [mm] \vektor{3 \\ 3 \\ 3} [/mm] (sofern richtig) damit schneiden soll?
Ist das jetzt so einfach oder so schwierig, da ich nicht drauf komme?
![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]")
Danke
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Hallo drahmas,
der Mittelpunkt des Sechsecks liegt also in [mm] \vec{m}=\vektor{2\\2\\2}.
[/mm]
Der Normalenvektor der Ebene ist [mm] \vec{n}=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Hier wäre er normiert noch etwas praktischer, also [mm] \vec{n}_0=\bruch{\wurzel{3}}{3}\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Zu lösen ist jetzt also:
[mm] \vec{m}-h*\vec{n}_0=\vektor{x_s\\y_s\\0}
[/mm]
Dabei ist h dann die Höhe der Pyramide, und der rechte Vektor ist der Ortsvektor der Spitze. [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] bestimmt man so gleich mit.
Vielleicht irritiert Dich nur, dass sich der Ortsvektor des Mittelpunkts und der Normalenvektor der Ebene so ähnlich sehen. Das ist aber reiner Zufall bzw. liegt natürlich an der Wahl der Punktkoordinaten.
Grüße
reverend
PS: Das ist übrigens immer noch der gleiche Tipp, den leduart schon gegeben hat... 
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Hallo nochmal,
> Gut, danke so weit.
> Okay, mir ist das mit der Ebene und z=0 nun so weit klar.
Gut.
> So richtig damit rechnen kann ich aber leider noch nicht.
Nanu?
> In der Gleichung [mm]\vec{m}-h*\vec{n_0}=\vektor{x_s \\
y_s \\
0}[/mm]
> habe ich doch 3 Variable, wie löse ich das entsprechend
> auf?
Indem Du h so bestimmst, dass die z-Komponente Null wird. Das ist dann doch der Schnittpunkt mit der xy-Ebene, den Du gerade suchst.
Damit ist dann h eindeutig bestimmt, so dass Du auch [mm] x_s [/mm] und [mm] y_s [/mm] ausrechnen kannst.
> Was mich auch noch interessieren würde, wie hast du die
> Gleichung hergeleitet? Ich wäre da im Leben nicht drauf
> gekommen.
Na, erstmal ist das doch nur links die Gleichung einer Geraden und rechts die einer Ebene. Dabei ist die Gerade eben die, die senkrecht auf der Grundfläche der Pyramide steht und durch den Mittelpunkt geht, und die Ebene ist eben die xy-Ebene.
> Warum auch – [mm]h*\vec{n_0}[/mm] und nicht +?
Das ist doch egal. Ich habe hier nur deswegen ein Minus angesetzt, damit sich für h ein positiver Wert ergibt.
> Warum hast du [mm]\vec{n_0}[/mm] normiert und wie bist du auf
> [mm]\bruch{\wurzel{3}}{3}[/mm] gekommen? 
Ich habe [mm] \vec{n} [/mm] normiert - also auf die Länge 1 gebracht -, damit ich später direkt h als Angabe der Höhe der Pyramide habe. Auch das ist nicht wirklich nötig, natürlich kann man auch mit dem unnormierten Vektor rechnen.
Beim Normieren rechnet man doch die "Länge" (den Betrag) des Vektors aus, und das ergibt hier [mm] \wurzel{1^2+1^2+1^2}=\wurzel{3}. [/mm] Mit dem Kehrwert des Betrages multipliziert hat der Vektor dann also die Länge 1.
> Da ich so eine Aufgabe noch nie auf diese Weise gerechnet
> habe, muss ich da leider mal ganz dumm fragen ...
Schon gut. Dafür sind wir ja hier.
Irgendwann musst Du das dann nicht mehr fragen.
> Danke und beste Grüße
Grüße zurück,
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:04 Mi 05.01.2011 | | Autor: | drahmas |
Hallo,
danke noch mal.
Okay, ich werd das wohl noch etwas üben müssen .
Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
[mm] \vektor{2 \\ 2 \\ 2}-2\wurzel{3}*\vektor{\bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{\wurzel{3}}{3} \\ \bruch{\wurzel{3}}{3}}=\vektor{0 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
h wäre dann ja [mm] \approx [/mm] 3,46
War das richtig?
Beste Grüße
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Hi,
> Ich habe jetzt folgendes gerechnet:
>
> [mm]\vektor{2 \\
2 \\
2}-2\wurzel{3}*\vektor{\bruch{\wurzel{3}}{3} \\
\bruch{\wurzel{3}}{3} \\
\bruch{\wurzel{3}}{3}}=\vektor{0 \\
0 \\
0}[/mm]
>
> h wäre dann ja [mm]\approx[/mm] 3,46
>
> War das richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bis hier ja. Dann mal weiter...
lg
rev
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:15 Do 06.01.2011 | | Autor: | drahmas |
| Aufgabe | | f) Bestimmen Sie den Neigungswinkel [mm] \alpha [/mm] der Seitenkante SA zur Basisebene [mm] \varepsilon_1 [/mm] |
Na prima!
V habe ich über die Grundfläche des Sechsecks ausgerechnet.
[mm] A=\bruch{3}{2}*a^2*\wurzel{3} \Rightarrow V=\bruch{G*h}{3} [/mm] = 24 VE
f)
Den Neigungswinkel habe ich über die Vektoren [mm] \overrightarrow{AD} [/mm] und [mm] \overrightarrow{AS} [/mm] mit der Formel [mm] \bruch{\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|*|\overrightarrow{AS}|}=cos\alpha \Rightarrow [/mm] 50,77° ausgerechnet.
Danke noch mal und beste Grüße
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Hallo drahmas,
> f) Bestimmen Sie den Neigungswinkel [mm]\alpha[/mm] der Seitenkante
> SA zur Basisebene [mm]\varepsilon_1[/mm]
> Na prima!
>
> V habe ich über die Grundfläche des Sechsecks
> ausgerechnet.
>
> [mm]A=\bruch{3}{2}*a^2*\wurzel{3} \Rightarrow V=\bruch{G*h}{3}[/mm]
> = 24 VE
Ja, das stimmt.
> f)
> Den Neigungswinkel habe ich über die Vektoren
> [mm]\overrightarrow{AD}[/mm] und [mm]\overrightarrow{AS}[/mm] mit der Formel
> [mm]\bruch{\overrightarrow{AD}*\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AD}|*|\overrightarrow{AS}|}=cos\alpha \Rightarrow[/mm]
> 50,77° ausgerechnet.
Stimmt auch, nur hast Du einen Tippfehler in der Formel.[mm][/mm]
[mm] \bruch{\overrightarrow{AD}*\blue{\overrightarrow{AS}}}{|\overrightarrow{AD}|*|\overrightarrow{AS}|}=\cos{\alpha}
[/mm]
Im Zähler stehen natürlich beide Vektoren. Sonst wärst Du auch nicht auf Dein Ergebnis gekommen.
> Danke noch mal und beste Grüße
Gern doch.
lg
reverend
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