Vektorrechnung Drehung im frei < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:58 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Meisterwadi |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Problem : Ich habe 2 Vektoren V1,2(x|y|z), welche frei im Raum liegen.
Ich möchte jetzt gerne beide Vektoren um den Nullpunkt Vn(0|0|0) um einen Winkel [mm] \alpha [/mm] drehen (Also auf einer VIRTUELLEN Ebene, deren Lage im Raum durch die beiden Vektoren im Bezug auf den Nullpunkt gebildet wird).
Wer kann mir helfen, eine Lösung für dieses Problem zu finden. Ich verzweifel !
Danke bereits im Voraus.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:12 Mo 17.01.2005 | | Autor: | Hanno |
Hallo Wadi!
Puh, das scheint aber keine leichte Aufgabe zu sein. Ich habe mir folgendes überlegt, bin mir aber nicht sicher, ob es richtig und zudem noch gut machbar ist. Also nicht böse sein, wenn's nicht richtig ist :)
Zuerst würde ich den Normalenvektor der Ebene bestimmen, die vom Ursprung und den zwei gegebenen Punkten aufgespannt werden. Dabei ist die Voraussetzung zu machen, dass letztere nicht auf einer Geraden durch den Ursprung liegen. Den besagten Normalenvektor bestimmt man am besten über das Kreuzprodukt. Stelle dir nun vor, wir drehen uns so über die Ebene dass wir aus der Vogelperspektive auf sie hinuntersehen. Auf dieses Bild projizieren wir nun ein kartesisches Koordinatensystem, wobei die X-Achse durch den Verbindungsvektor von Ursprung und erstem Punkt geht (dieser Verbindungsvektor entspricht natürlich genau dem Ortsvektor des besagten Punktes). Den zweiten Punkt lassen wir vorerst außer acht. Die Y-Achse verläuft orthogonal zur X-Achse (klar) und geht durch den Ursprung (diese Festlegung ist nicht unbedingt notwendig, hilft aber hoffentlich bei der Veranschaulichung meiner Idee). Der erste Punkt, dessen Ortsvektor der Vektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] sei, hat im so festgelegen Koordinatensystem die Koordinaten [mm] $(0,|\vec{x}|)$; [/mm] da er auf der X-Achse liegt (, die ja genau als Verbindungsstrecke von Ursprung und dem Punkt liegt), ist die Y-Koordinate 0. Da der Abstand vom Ursprung genau [mm] $|\vec{x}|$ [/mm] beträgt, folgt die obige Koordinate des Punktes. Dieser Punkt kann nun auf dem virtuellen Koordinatensystem durch Multiplikation mit [mm] $\pmat{cos(\varphi) & -sin(\varphi)\\ sin(\varphi) & cos(\varphi)}$ [/mm] im Winkel [mm] $\varphi$ [/mm] (gegen den Uhrzeigersinn) um den Ursprung gedreht werden. Seine neue X-Koordinate beträgt [mm] $cos(\varphi)\cdot |\vec{x}|$, [/mm] seine neue Y-Koordinate [mm] $sin(\varphi)\cdot |\vec{x}|$. [/mm] Nun muss der entstandene Ortsvektor (immernoch bezogen auf das gedachte Koordinatensystem) in seine Raumkoordinaten transformiert werden. Dazu multiplizieren wir [mm] $\vec{x}$ [/mm] mit [mm] $\frac{|\vec{x'}|}{|\vec{x}|}$. [/mm] Der so entstandene Punkt im Raum hat nun umgerechnet in das gedachte Koordinatensystem die korrekte X-Koordinate. Um nun noch die Y-Koordinate anzupassen, addieren wir zum skalierten Vektor noch den Vektor [mm] $\vec{n_0}\cdot sin(\varphi)\cdot |\vec{x}|$. [/mm] Dabei ist [mm] $\vec{n_0}=\frac{\vec{n}\times \vec{x}}{|vec{n}\times\vec{x}|}$ [/mm] der normierte Normalenvektor, der sowohl senkrecht auf dem Ortsvektor [mm] $\vec{x}$ [/mm] als auch senkrecht auf dem Ortsvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] der ursprünglichen Ebene (jetzt ist diejenige gemeint, die durch den Ursprung und die zwei gegebenen Punkte aufgespannt wird) steht. Projiziert auf das Hilfskoordinatensystem stellt dieser Vektor eine Parallele zur Y-Achse dar.
Nach dieser Addition haben wir den gewünschten Punkt.
So, ich bitte darum, dass dieser Artikel gründlich Korrekturgelesen wird, da ich wirklich nicht weiß, ob das, was ich geschrieben habe, brauchbar ist.
Liebe Grüße,
Hanno
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Erstmal danke für deine rasche Antwort. Ich kann jedoch nirgends finden, wo du die Z-Achse neu berechnest. Ich gebe Dir am besten mal ein Beispiel, daß du was handfestes hast. Vielleicht kannst du mir anhand einer schrittweisen Berechnung dieses Beispieles genau klarmachen, was du vorhast... wenn es dir nicht zuviel Mühe machst.
Ich habe vielleicht vergessen zu erwähnen (Was die Sache einfacher machen könnte), daß ich nur mit normalisierten Vektoren rechne, die zu sich im 90° Winkel stehen (immer).
Gegeben sind folgende Vektoren :
V1 (0,499999 | 0,707106 | 0,5)
V2 (-0,1974 | 0,614026 | -0,765391)
Diese Vektoren haben beide eine Länge von 1,0 und stehen über (0|0|0) im 90° Winkel zueinander.
Ich möchte nun (für den Anfang reichts mal und der Rest läßt sich ja ableiten) V1 so um z.B. 25° drehen, daß dieser sich in seiner Drehung auf V2 zubewegt. (V1 um 90° gedreht ergibt somit V2).
Das sollte eine ganz genaue Schilderung der Umgebung sein, aus der sich mein Problem ergibt. Wie gesagt : Wenn du mir eine schrittweise Berechnung als Beispil geben könntest, daß ich deine Gedanken nachvollziehen kann, wäre ich dir dankbar.
Vielen Dank für die Mühen bereits im Voraus.
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Hallo Meisterwadi,
bekanntlich lassen sich Vektoren in der Ebene bezüglich eines Bezugspunktes (hier: (0,0,0) )wie folgt darstellen:
[mm]\mathfrak{b}\; = \;b_{1} \;\mathfrak{v}_{1}^{*} \; + \;b_{2} \;\mathfrak{v}_{2}^{*} \; = \;r\;\cos (\beta )\;\mathfrak{v}_{1}^{*} \; + \;r\;\sin \left( \beta \right)\;\mathfrak{v}_{2}^{*}[/mm]
wobei
[mm]\begin{array}{*{20}c} {r\; = \;\sqrt {b_{1}^{2} \; + \;b_{2}^{2} } } \\ {\beta \; = \;\arctan \left( {\frac{{b_{2} }}{{b_{1} }}} \right)} \\ \end{array} [/mm]
Dabei ist vorausgesetzt, daß [mm]\mathfrak{v}_{1}^{*} [/mm] und [mm]
\mathfrak{v}_{2}^{*}[/mm] zueinander orthogonal und normiert sind.
Nun wird dieser Vektor [mm]\mathfrak{b}[/mm] um den Winkel[mm]\alpha[/mm] gedreht, so ergeben sich die neuen Koordinaten wie folgt:
[mm]\begin{gathered} \widetilde{b_{1} }\; = \;r\;\cos \left( {\beta \; + \;\alpha } \right)\; \hfill \\ = \;r\;\cos \left( \beta \right)\;\cos \left( \alpha \right)\; - \;r\;\sin \left( \beta \right)\;\sin \left( \alpha \right) \hfill \\
= \;b_{1} \;\cos \left( \alpha \right)\; - \;b_{2} \;\sin \left( \alpha \right) \hfill \\ \end{gathered} [/mm]
[mm]\begin{gathered} \widetilde{b_{2} }\; = \;r\;\sin \left( {\beta \; + \;\alpha } \right)\; \hfill \\ = \;r\;\sin \left( \beta \right)\;\cos \left( \alpha \right)\; + \;r\;\cos \left( \beta \right)\;\sin \left( \alpha \right) \hfill \\ = \;b_{2} \;\cos \left( \alpha \right)\; + \;b_{1} \;\sin \left( \alpha \right) \hfill \\ \end{gathered} [/mm]
Und der neue Vektor läßt sich darstellen wie folgt:
[mm]\widetilde{\mathfrak{b}}\; = \;\widetilde{b_{1} }\;\mathfrak{v}_{1}^{*} \; + \;\widetilde{b_{2} }\;\mathfrak{v}_{2}^{*} [/mm]
Gruß
MathePower
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Hallo Hanno,
ich kann Dir in Deinen Ausführungen nur bis zu der Drehmatrix folgen.
Ich glaube da sind Dir einige kleine Fehler unterlaufen:
Muß es nicht [mm]\left( {\left| x \right|,\;0} \right)[/mm] statt [mm]
\left( {0,\;\left| x \right|} \right)[/mm] heißen?
Ist dem nicht so, dann kann ich mir die dann folgenden Formeln für die x- bzw. y-Koordinaten nicht erklären.
Lieber Hanno, ohne eine Rechnung ist das ziemlich schwierig nachzuvollziehen, was Du da gemacht hast.
Gruß
MathePower
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