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| Aufgabe | Überprüfen Sie $ [mm] bei(V,\oplus,\odot) [/mm] $ alle Vektorraumeigenschaften
Gegeben sei die Menge V = $ [mm] \IR, [/mm] $ sowie die innere Verknüpfung $ [mm] \oplus [/mm] $ und die Abbildung $ [mm] \odot: [/mm] $
$ [mm] \oplus: [/mm] $ V x V $ [mm] \to [/mm] $ V
(x,y) $ [mm] \mapsto [/mm] $ a $ [mm] \oplus [/mm] $ b = $ x+y+2 $
$ [mm] \odot: \IR [/mm] $ x V $ [mm] \to [/mm] $ V
$ [mm] (\alpha,x) \mapsto \alpha \odot [/mm] $ x = $ [mm] \alpha\cdot{}(x [/mm] + 2)-2 $ |
es gibt ja diese 8 Vektorraumeigenschaften.
nur mit einer habe ich probleme:
[mm] \exists [/mm] n [mm] \in [/mm] V [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V : n [mm] \oplus [/mm] x = x
wenn ich dies nun anwende,kommt zunächst raus:
n [mm] \oplus [/mm] x = n + x + 2 und das muss ja x ergeben,dann wäre aber n= -2.
wir hatten damals in der VL aber definiert,dass n der Nullvektor ist...
das gleiche für die nächste Vektorraumeigenschaft:
[mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] V [mm] \exists x´\in [/mm] V mit x´ [mm] \oplus [/mm] x = n
das nun angewendet ergibt:
x´ [mm] \oplus [/mm] x = x´ + x + 2 = 2 ,da wir x´= -x definiert haben.
nun ist somit n=2 im ersten und n=-2 im zweiten.
geht das??
oder ist somit bewiesen,dass es sich nicht bei [mm] (V,\oplus,\odot) [/mm] um einen Vektorraum handelt?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:50 Sa 28.03.2009 | | Autor: | Rino |
Nullvektor ist in diesem Fall nur der Name für den Vektor mit der "Nulleigenschaft", dass heißt das neutrale Element bzgl [mm] $\oplus$.
[/mm]
$n=2$ ist also in diesem Fall der "Nullvektor".
Die zweite Eigenschaft beschreibt die Inverse bzgl [mm] $\oplus$. [/mm] Bei diesem Vektorraum wäre das Inverse von [mm] $x\in [/mm] V$: $-x+2$, denn es gilt: $x+(-x+2)=2=n$
Gruße, Rino
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danke @rino:) hab es nun verstanden!!
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1.) für den Nullvektor muss aber gelten:
[mm] n\oplus [/mm] x= x
n+x+2 =x
und damit ist n= -2
2.) [mm] x\oplus [/mm] x´ = n
x + x´+2 =n
x - x + 2 = n
und damit ist n=-2
bei 1.) ist ein anderes n als bei 2.) geht das?
bei der ersten frage gilt: [mm] x\oplusy= [/mm] x+y+2
[mm] \alpha\odotx=\alpha*(x+2)-2
[/mm]
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> 1.) für den Nullvektor muss aber gelten:
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> [mm]n\oplus[/mm] x= x
> n+x+2 =x
> und damit ist n= -2
Hallo,
ja.
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> 2.) [mm]x\oplus[/mm] x´ = n
> x + x´+2 =n
> x - x + 2 = n
> und damit ist n=-2
Moment - hier geht es nicht um das n, das hast Du ja schon. Es geht daraum, ob es für jedes x ein passendes x' gibt. Das ist auszurechnen:
( [mm]x\oplus[/mm] x´ = n=-2 ==> x+x'+2=-2 ==> x'=-4-x.)
Für jedes x [mm] \in [/mm] V gilt [mm] x\oplus(-4-x)= [/mm] x+(-4-x)+2= -2=n, also hat jedes Element ein Inverses bzgl [mm] \oplus.
[/mm]
> bei 1.) ist ein anderes n als bei 2.) geht das?
???
Gruß v. Angela
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> bei der ersten frage gilt: [mm]x\oplusy=[/mm] x+y+2
> [mm]\alpha\odotx=\alpha*(x+2)-2[/mm]
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ok,jetzt hab ich´s danke,hatte zuvor die eigenschaft falsch verstanden:)
danke
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| Aufgabe | Überprüfen Sie,ob [mm] (V,\oplus, \odot) [/mm] ein Vektorraum ist
VxV -> V
(x,y) [mm] \mapsto [/mm] x [mm] \oplus [/mm] y = x + y +1
[mm] \IR [/mm] x V -> V
(x,y) [mm] \mapsto \alpha \odot [/mm] x= [mm] \alpha [/mm] * (x+2)-2 |
habe alle überprüft bei einer Vektorraumeigenschaft probleme,weil ich diese eigenschaft nicht beweisen konnte:
[mm] (\alpha \odot x)\oplus [/mm] ( [mm] \beta \odot [/mm] x) [mm] =(\alpha [/mm] + [mm] \beta)\odot [/mm] x
[mm] 1.)(\alpha \odot x)\oplus [/mm] ( [mm] \beta \odot [/mm] x)=
[mm] (\alpha [/mm] x + [mm] 2\alpha [/mm] - [mm] 2)\oplus (\beta [/mm] x [mm] +2\beta [/mm] -2) =
[mm] \alpha [/mm] x + [mm] 2\alpha [/mm] - 2 + [mm] \beta [/mm] x [mm] +2\beta [/mm] -2 +1 =
[mm] \alpha [/mm] x + [mm] 2\alpha [/mm] + [mm] \beta [/mm] x [mm] +2\beta [/mm] -3=
[mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)\odot [/mm] (x+2)-3
2.) [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)\odot [/mm] x = [mm] (\alpha [/mm] + [mm] \beta)* [/mm] (x+2)-2
1.) [mm] \not= [/mm] 2.) somit kein Vektorraum
oder hab ich irgendwo einen Rechenfehler?
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> Überprüfen Sie,ob [mm](V,\oplus, \odot)[/mm] ein Vektorraum ist
> VxV -> V
> (x,y) [mm]\mapsto[/mm] x [mm]\oplus[/mm] y = x + y +1
>
> [mm]\IR[/mm] x V -> V
> (x,y) [mm]\mapsto \alpha \odot[/mm] x= [mm]\alpha[/mm] * (x+2)-2
> habe alle überprüft bei einer Vektorraumeigenschaft
> probleme,weil ich diese eigenschaft nicht beweisen konnte:
>
> [mm](\alpha \odot x)\oplus[/mm] ( [mm]\beta \odot[/mm] x) [mm]=(\alpha[/mm] +
> [mm]\beta)\odot[/mm] x
>
> [mm]1.)(\alpha \odot x)\oplus[/mm] ( [mm]\beta \odot[/mm] x)=
> [mm](\alpha[/mm] x + [mm]2\alpha[/mm] - [mm]2)\oplus (\beta[/mm] x [mm]+2\beta[/mm] -2) =
> [mm]\alpha[/mm] x + [mm]2\alpha[/mm] - 2 + [mm]\beta[/mm] x [mm]+2\beta[/mm] -2 +1 =
> [mm]\alpha[/mm] x + [mm]2\alpha[/mm] + [mm]\beta[/mm] x [mm]+2\beta[/mm] -3=
> [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)\red{*}[/mm] (x+2)-3
>
> 2.) [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)\odot[/mm] x = [mm](\alpha[/mm] + [mm]\beta)*[/mm] (x+2)-2
>
> 1.) [mm]\not=[/mm] 2.) somit kein Vektorraum
> oder hab ich irgendwo einen Rechenfehler?
Hallo,
nein, kein Rechenfehler.
Das ist halt kein Vektorraum.
Gruß v. Angela
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danke angela!
ja,es war eine neue teilaufgabe ,deshalb"Frage" :)
merci
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:37 Mo 30.03.2009 | | Autor: | Rino |
an imbroken603: kann es sein dass du dich diesmal bei der Definition von [mm] $\oplus$ [/mm] vertan hast...oben ist es noch $x+y+2$, unten : $x+y+1$...mit der ersten Definition klappts auch..
Gruß, Rino
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> an imbroken603: kann es sein dass du dich diesmal bei der
> Definition von [mm]\oplus[/mm] vertan hast...oben ist es noch [mm]x+y+2[/mm],
> unten : [mm]x+y+1[/mm]...mit der ersten Definition klappts auch..
Hallo,
ich verstehe das eher so, daß es sich hier um eine neue Teilaufgabe handelt.
Gruß v. Angela
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