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| Aufgabe | Finden Sie ein [mm] Tripel(U;+;\*)_{K} [/mm] , so dass alle Axiome des Vektorraums gelten, ausser
(vi) für alle x [mm] \in [/mm] U gilt : 1*x = x (Einselement der skal. Multiplikation)
Das heisst, Axiom (vi) ist nicht abhängig von den anderen Axiomen. Beweisen Sie dabei, dass
allen anderen Eigenschaften gelten. |
Hallo,
ich sitze grad vor folgender Aufgabe und finde leider keinen Ansatz. Mir geht irgendwie nicht in den Kopf, wie man dieses Axiom (vi) verletzen könnte. Ich habe mir verschiedene Mengen U überlegt, aber wo bitte existiert dieses Axiom nicht??!! Hoffe mir kann irgendjemand einen Hinweis geben, bevor ich völlig verzweifele.
MFG
Robert
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> Finden Sie ein [mm]Tripel(U;+;\*)_{K}[/mm] , so dass alle Axiome des
> Vektorraums gelten, ausser
> (vi) für alle x [mm]\in[/mm] U gilt : 1*x = x (Einselement der
> skal. Multiplikation)
> Das heisst, Axiom (vi) ist nicht abhängig von den anderen
> Axiomen. Beweisen Sie dabei, dass
> allen anderen Eigenschaften gelten.
>
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> ich sitze grad vor folgender Aufgabe und finde leider
> keinen Ansatz. Mir geht irgendwie nicht in den Kopf, wie
> man dieses Axiom (vi) verletzen könnte. Ich habe mir
> verschiedene Mengen U überlegt, aber wo bitte existiert
> dieses Axiom nicht??!! Hoffe mir kann irgendjemand einen
> Hinweis geben, bevor ich völlig verzweifele.
Hallo,
daß Du kurz vor dem Jahreswechsel noch verzweifelst, kann man natürlich nicht riskieren!
Nimm Dir man den Vektorraum, den Du am liebsten magst, und der Dir am vertrautesten ist, z.B. [mm] \IR^2.
[/mm]
Und nun erklärst Du dort eine neue skalare Multiplikation [mm] \odot [/mm] durch [mm] a\odot [/mm] x=0 für alle x [mm] \in \IR^2 [/mm] und für alle a [mm] \in \IR.
[/mm]
Du wirst sehen, daß Du alle VR-Eigenschaften nachweisen kannst.
Die Gruppeneigenschaften bzgl. + bleiben ja sowieso völlig unberührt.
Assoziativität und Distributivität gelten.
Dasselbe Spiel kannst du mit jedem Dir bekannten Vektorraum machen.
(Ich nehme einmal sehr stark an, daß man für den VR 1x=x gefordert hat, um solche armen langweiligen Strukturen wie oben nicht immer als Ballast/Trivialität mitschleppen zu müssen.)
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:38 So 31.12.2006 | | Autor: | SEcki |
> (Ich nehme einmal sehr stark an, daß man für den VR 1x=x
> gefordert hat, um solche armen langweiligen Strukturen wie
> oben nicht immer als Ballast/Trivialität mitschleppen zu
> müssen.)
Naja, da gibt's kritischere Sachen - die Skalarmultiplikation wirkt dann eben nicht mehr transitiv auf nicht-trivialen Vektoren, [m]x+x\neq 2*x[/m], und lineare Unabh. ist in deiem Bsp. ... nicht gut.
SEcki
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hi,
jetzt hab ichs auch verstanden. vielen dank und einen guten rutsch.
MFG
Robert
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:05 Sa 06.01.2007 | | Autor: | Lealine |
Hallo zusammen,
ich habe genau die gleiche aufgabe bekommen, schätze dass wir im gleichen kurs sitzen. habe die antwort aber leider nicht verstanden.
Was bedeutet denn dieses Zeichen [mm] \odot?
[/mm]
Für x=0 bleibt auch 1*0=0, oder was übersehe ich da?
Es wäre nett wenn, ihr dazu noch einen kleinen kommentar schreiben könntet?Danke
Liebe Grüße
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> Was bedeutet denn dieses Zeichen [mm]\odot?[/mm]
Hiermit habe ich eine Multiplikation zwischen Skalaren und Vektoren definiert dergestalt, daß [mm] a\odot [/mm] u:=0 für alle u [mm] \in [/mm] U und für alle a [mm] \in [/mm] K gilt.
> Für x=0 bleibt auch 1*0=0, oder was übersehe ich da?
Das ist aber auch der einzige Vektor, auf den das zutrifft. Für alle anderen ist bei dieser Multiplikation 1 [mm] \odot [/mm] u=0.
Was - wie erwähnt und wie zu zeigen - die übrigen Axiome in keiner Weise beeinträchtigt.
Gruß v. Angela
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