Vektorraum und Endomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:29 Do 12.04.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Auf dem [mm] \IR [/mm] - Vektorraum V gebe es einen Endomorphismus [mm] \alpha \varepsilon End_{IR} [/mm] (V) mit
[mm] \alpha [/mm] ² = - [mm] id_{V} [/mm] .
Zeigen Sie:
(a) V wird zu einem [mm] \IC [/mm] - Vektorraum bzgl. der neuen Skalarmultiplikation
z*v = x v + y [mm] \alpha [/mm] (v) für alle v [mm] \varepsilon [/mm] V und z = x + i y [mm] \varepsilon \IC [/mm] mit x,y [mm] \varepsilon \IR.
[/mm]
(b) Ist [mm] dim_{IR} [/mm] V endlich, so ist [mm] dim_{IR} [/mm] V eine gerade Zahl. |
Hi,
also es handelt sich um die obige Aufgabe.
Erstmal habe ich mir zu (a) Gedanken gemacht und vielleicht die Lösung:
Sei v [mm] \varepsilon [/mm] V .
Dann existiert ein Endomorphismus mit [mm] \alpha [/mm] (v)² = - [mm] id_{V} [/mm] (v) = -v .
Daraus folgt dass [mm] \alpha [/mm] (v) = [mm] \wurzel{-1 * v} [/mm] = [mm] \wurzel{v} [/mm] i .
Durch einsetzen gelangt man zu: z*v = x v + y [mm] \wurzel{v} [/mm] i [mm] \varepsilon \IC.
[/mm]
Ist das korrekt?
Wenn nicht, wo ist denn mein Denkfehler?
Bei Aufgabenteil (b) komme ich irgendwie nicht auf den Ansatz.
Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Also ich bin über jede Antwort sehr dankbar.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Fr 13.04.2007 | | Autor: | SEcki |
> Sei v [mm]\varepsilon[/mm] V .
> Dann existiert ein Endomorphismus mit [mm]\alpha[/mm] (v)² = -
> [mm]id_{V}[/mm] (v) = -v .
> Daraus folgt dass [mm]\alpha[/mm] (v) = [mm]\wurzel{-1 * v}[/mm] =
> [mm]\wurzel{v}[/mm] i .
Nein, überhaupt nicht. Deiese Wurzel ist nicht definiert. Am einfachsten ist es hier wirklich die VR-Axiome nachzurechnen - alles nicht schwer, vor allem bei der Assoziativität hilft der Endo, denn: [m]-v=(i*i)*v=\alpha(\alpha(v))=-v[/m], so als kleiner Hinweis.
> Ist das korrekt?
Nein.
> Wenn nicht, wo ist denn mein Denkfehler?
Weiss ich nicht genau - aus Vektoren kann man keine Wurzeln ziehen, auch im Komplexen ist Wurzel ziehen schon böse.
> Bei Aufgabenteil (b) komme ich irgendwie nicht auf den
> Ansatz.
> Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Sei [m]v_n[/m] eine Basis, dann ist [m]v_n,i*v_n[/m] eine des ursprünglichen Raumes.
SEcki
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