Vektorraum und Basis < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 So 01.03.2009 | | Autor: | martin7 |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Menge der Elemente [mm] x\in\IR^4, [/mm] die
[mm] x*\vektor{1 \\ 2 \\ 17} [/mm] = 0
erfüllen, ein Vektorraum ist. Geben Sie eine Basis für diesen Vektorraum an. |
Hallo Freunde! Wäre super wenn ihr mir einen Tipp geben könntet!
Also was ich nicht verstehe wieso verwendet man hier [mm] \IR^4 [/mm] ? Ich habe ja nur einen dreidimensionalen Vektor.
Ich würde ja gerne hinschreiben x = 0
weil 1*0 = 0; 2*0 = 0 und 17*0 = 0
Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe!
Martin
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> Zeigen Sie, dass die Menge der Elemente [mm]x\in\IR^4,[/mm] die
>
> [mm]x*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}[/mm] = 0
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> erfüllen, ein Vektorraum ist. Geben Sie eine Basis für
> diesen Vektorraum an.
> Hallo Freunde! Wäre super wenn ihr mir einen Tipp geben
> könntet!
>
> Also was ich nicht verstehe wieso verwendet man hier [mm]\IR^4[/mm]
> ? Ich habe ja nur einen dreidimensionalen Vektor.
Hallo,
[mm] \IR^4 [/mm] ist hier [mm] Blödsinn^5. [/mm] Das ist sicher ein Druckfehler.
>
> Ich würde ja gerne hinschreiben x = 0
>
> weil 1*0 = 0; 2*0 = 0 und 17*0 = 0
Das wäre sehr falsch.
Überlege Dir, wie [mm] x:=\vektor{x_1\\x_2\\x_3} [/mm] beschaffen sein muß, damit [mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}=0 [/mm] gilt.
Das Skalarprodukt kannst Du doch berechnen, oder?
Gruß v. Angela
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> Liebe Grüße und vielen Dank für die Hilfe!
> Martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:12 So 01.03.2009 | | Autor: | martin7 |
danke erstmal!
[mm] 0=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}=x1*1+x2*2+x3*17=0
[/mm]
z.B. [mm] \vektor{4 \\ 15 \\ -2} [/mm] wäre eine Lösung da
[mm] \vektor{4 \\ 15 \\ -2}*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}=0
[/mm]
ist das richtig so?
lg
martin
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> danke erstmal!
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> [mm]0=\vektor{x1 \\ x2 \\ x3}*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}=x1*1+x2*2+x3*17=0[/mm]
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> z.B. [mm]\vektor{4 \\ 15 \\ -2}[/mm] wäre eine Lösung da
>
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> [mm]\vektor{4 \\ 15 \\ -2}*\vektor{1 \\ 2 \\ 17}=0[/mm]
>
> ist das richtig so?
>
Hallo,
eine von vielen Lösungen.
Erwartet wird von Dir, daß Du die Gesamheit der Lösungen angibst, also den Kern von [mm] x_1*1+x_2*2+x_3*17=0, [/mm] und von diesem nachweist bzw. begründest, daß es ein Untervektorraum des [mm] \IR^3 [/mm] ist.
Gruß v. Angela
> lg
> martin
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:33 So 01.03.2009 | | Autor: | martin7 |
Aber wie schreibe ich das speziell an?
x1*1+x2*2+x3*17=0
--> x1=-x2*2 - x3*17
alle x1,x2,x3 [mm] \in \IR [/mm] die die obere Gleichung erfüllen sind Bestandteil des Vektorraumes
Wäre eine Basis dieses Systems z.B.
e1= [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0}
[/mm]
e2= [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
e3= [mm] \vektor{0 \\ 0 \\ 1} [/mm] ?
lg
martin
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 So 01.03.2009 | | Autor: | Merle23 |
Damit wäre jeder Vektor aus [mm] \IR^3 [/mm] Lösung der Gleichung, was ja wohl nicht sein kann.
Du hast [mm] x_1 [/mm] in Abhängigkeit von [mm] x_2 [/mm] und [mm] x_3 [/mm] gegeben, d.h. du hast einen 2-dimensionalen UVR des [mm] \IR^3.
[/mm]
Jetzt musst du nur noch deine Gleichung so umschreiben, dass du eine Basisdarstellung dieses UVR kriegst.
Deine Lösungsmenge ist ja [mm] \{\vektor{x_1 \\ x_2 \\ x_3} \in \IR^3 | x_1 = -2x_2 - 17x_3\}[/mm] und das musst du in die Form [mm]span(b_1, b_2)[/mm] bringen, wobei du eben [mm] b_1 [/mm] und [mm] b_2 [/mm] aus der Gleichung rauskriegst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Mo 02.03.2009 | | Autor: | martin7 |
Ja aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich das anschreiben soll. Ist das nicht Sinn der Basis, dass sie multipliziert mit jeder beliebigen Zahl ein Ergebnis in dem Vektorraum liefert ...
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> Ja aber ich verstehe nicht wirklich, wie ich das
> anschreiben soll. Ist das nicht Sinn der Basis, dass sie
> multipliziert mit jeder beliebigen Zahl ein Ergebnis in dem
> Vektorraum liefert ...
Hallo,
kurios formuliert...
Die Basis eines Vektorraumes ist ein linear unabhängige Erzeugendensystem, und in der Tat erhält man jeden Vektor des Vektorraumes durch Linearkombination der Basiselemente.
Der Vektorraum, den Du nun betrachten möchtest bzw. sollst, ist der Lösungsraum des (sehr übersichtlichen) Gleichungssystems [mm] x_1 [/mm] = [mm] -2x_2 [/mm] - [mm] 17x_3 [/mm] <==> [mm] x_1+2x_2-17x_3=0.
[/mm]
Beim überfliegen des Threads ist mir leider nicht klargeworden, was Du kannst und weißt - Deinem Profil nach solltest Du aber in der Lage sein, den Kern einer Matrix zu bestimmen.
Wenn Du das kannst, kannst Du die Koeffizientenmatrix der Gleichung aufstellen und wie gewohnt vorgehen.
Ansonsten: Du hast eine Gleichung mit drei Variablen, kannst also zwei variable frei wählen, etwa
[mm] x_3=t
[/mm]
[mm] x_2=s
[/mm]
Daraus ergibt sich
[mm] x_1= [/mm] ...
Dei Lösungsvektoren haben also die Gestalt
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{...\\...\\...}= s*\vektor{...\\...\\...} [/mm] + [mm] t*\vektor{...\\...\\...}.
[/mm]
Diese beiden Vektoren sind dann zusammen die gesuchte Basis.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Mo 02.03.2009 | | Autor: | martin7 |
> Hallo,
>
> kurios formuliert...
>
> Die Basis eines Vektorraumes ist ein linear unabhängige
> Erzeugendensystem, und in der Tat erhält man jeden Vektor
> des Vektorraumes durch Linearkombination der
> Basiselemente.
>
> Der Vektorraum, den Du nun betrachten möchtest bzw. sollst,
> ist der Lösungsraum des (sehr übersichtlichen)
> Gleichungssystems [mm]x_1[/mm] = [mm]-2x_2[/mm] - [mm]17x_3[/mm] <==>
> [mm]x_1+2x_2-17x_3=0.[/mm]
>
> Beim überfliegen des Threads ist mir leider nicht
> klargeworden, was Du kannst und weißt - Deinem Profil nach
> solltest Du aber in der Lage sein, den Kern einer Matrix zu
> bestimmen.
Hallo Angela! Danke für deine Hilfe! Ich habe mein Profil aktualisiert um ein besseres Bild zu vermitteln! Leider nein, muss ich sagen, da diese Aufgaben vor dem Beginn der Vorlesung / Übung auszuarbeiten sind.
> Wenn Du das kannst, kannst Du die Koeffizientenmatrix der
> Gleichung aufstellen und wie gewohnt vorgehen.
>
> Ansonsten: Du hast eine Gleichung mit drei Variablen,
> kannst also zwei variable frei wählen, etwa
>
> [mm]x_3=t[/mm]
> [mm]x_2=s[/mm]
>
> Daraus ergibt sich
>
> [mm]x_1=[/mm] ...
>
> Dei Lösungsvektoren haben also die Gestalt
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{...\\...\\...}= s*\vektor{...\\...\\...}[/mm]
> [mm] +t*\vektor{...\\...\\...}.[/mm]
[/mm]
>
[mm] \vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2s-17t\\-2s\\-17t}= s*\vektor{-2\\-2\\0}
[/mm]
[mm] +t*\vektor{-17\\0\\-17}.
[/mm]
Heisst das jetzt das alle Werte die ich für s bzw. t einsetze =0 ergeben sprich ich habe meine Basis gefunden?
Ich habe nach dem blättern im Skriptum einen Satz gefunden der besagt, wenn die Determinante [mm] \not= [/mm] 0 ist sie eine Basis
> Diese beiden Vektoren sind dann zusammen die gesuchte
> Basis.
>
> Gruß v. Angela
>
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Di 03.03.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> > kurios formuliert...
> >
> > Die Basis eines Vektorraumes ist ein linear unabhängige
> > Erzeugendensystem, und in der Tat erhält man jeden Vektor
> > des Vektorraumes durch Linearkombination der
> > Basiselemente.
> >
> > Der Vektorraum, den Du nun betrachten möchtest bzw. sollst,
> > ist der Lösungsraum des (sehr übersichtlichen)
> > Gleichungssystems [mm]x_1[/mm] = [mm]-2x_2[/mm] - [mm]17x_3[/mm] <==>
> > [mm]x_1+2x_2-17x_3=0.[/mm]
> >
> > Beim überfliegen des Threads ist mir leider nicht
> > klargeworden, was Du kannst und weißt - Deinem Profil nach
> > solltest Du aber in der Lage sein, den Kern einer Matrix zu
> > bestimmen.
>
> Hallo Angela! Danke für deine Hilfe! Ich habe mein Profil
> aktualisiert um ein besseres Bild zu vermitteln! Leider
> nein, muss ich sagen, da diese Aufgaben vor dem Beginn der
> Vorlesung / Übung auszuarbeiten sind.
>
>
> > Wenn Du das kannst, kannst Du die Koeffizientenmatrix der
> > Gleichung aufstellen und wie gewohnt vorgehen.
> >
> > Ansonsten: Du hast eine Gleichung mit drei Variablen,
> > kannst also zwei variable frei wählen, etwa
> >
> > [mm]x_3=t[/mm]
> > [mm]x_2=s[/mm]
> >
> > Daraus ergibt sich
> >
> > [mm]x_1=[/mm] ...
> >
> > Dei Lösungsvektoren haben also die Gestalt
> >
> > [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{...\\...\\...}= s*\vektor{...\\...\\...}[/mm]
> > [mm]+t*\vektor{...\\...\\...}.[/mm][/mm]
> >
>
> [mm]\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2s-17t\\-2s\\-17t}= s*\vektor{-2\\-2\\0}[/mm]
>
> [mm]+t*\vektor{-17\\0\\-17}.[/mm]
>
> Heisst das jetzt das alle Werte die ich für s bzw. t
> einsetze =0 ergeben sprich ich habe meine Basis gefunden?
> Ich habe nach dem blättern im Skriptum einen Satz gefunden
> der besagt, wenn die Determinante [mm]\not=[/mm] 0 ist sie eine
> Basis
da steht aber sicher:
Wenn die (quadratische) $n [mm] \times [/mm] n$-Matrix eine nichtverschwindende Determinante hat (was gleichbedeutend mit der Invertierbarkeit der Matrix ist), dann bilden die [mm] $n\,$ [/mm] Spalten eine Basis des [mm] $\IR^n\,.$ [/mm] Bei einer Matrix mit zwei Spalten und drei Zeilen wirst Du sicher keine Determinante berechnen können. Zudem ist Dein Unterraum ja auch nicht der ganze [mm] $\IR^3$, [/mm] d.h. der von Dir erwähnte Satz ist hier unbrauchbar, da Voraussetzungen für die Anwendung dieses Satzes nicht gegeben sind.
Und jetzt kontrolliere ich mal Deine Lösung:
[mm] $$x_1+2x_2+17x_3=0$$
[/mm]
war die 'Ausgangsgleichung', das ist ein homogenes Gleichungssystem in drei Variablen, deren Lösungsmenge folglich ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist. Geometrisch beschreibt die obige Gleichung die Ebene des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] die durch den Ursprung [mm] $(0,0,0)^T \in \IR^3$ [/mm] geht mit dem Normalenvektor [mm] $(1,2,17)^T \in \IR^3\,.$ [/mm]
(Das sollte aus der Schulmathematik bekannt sein, ansonsten kannst Du aber z.B. auch ![[]](/images/popup.gif) durch studieren dieses Links erkennen, wie ich das so schnell erkannt habe.)
Also alleine aus diesem 'geometrischen Gesichtspunkt' ist erkennbar, dass obige Gleichung einen zweidimensionalen Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] beschreibt (genauer: [mm] $M:=\{(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3:\;x_1+2x_2+17x_3=0\}$ [/mm] ist ein zweidimensionaler UR des [mm] $\IR^3$). [/mm]
Nach Deiner Rechnung sollte also [mm] $\left\{(-2,-2,0)^T,\;(-17,0,-17)^T\right\}$ [/mm] eine Basis von [mm] $\,M$ [/mm] bilden. Tja, linear unabhängig wären sie ja, aber leider liegen diese beiden Vektoren nicht in [mm] $\,M$...
[/mm]
Irgendwo hast Du also etwas falsch gemacht, daher rechne ich es vll. nochmal:
Aus [mm] $x_1+2x_2+17x_3=0$ [/mm] folgt mit [mm] $x_2\,=s$ [/mm] und [mm] $x_3\,=t\,,$ [/mm] dass
[mm] $$\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{-2x_2-17x_3\\x_2\\x_3}=s*\vektor{-2\\1\\0}+t*\vektor{-17\\0\\1}\,.$$
[/mm]
Damit erkennt man, dass [mm] $M=\left\{s*\vektor{-2\\1\\0}+t*\vektor{-17\\0\\1}:\;s,\,t \in \IR\right\}=\text{linspan}\left\{\vektor{-2\\1\\0},\;\vektor{-17\\0\\1}\right\}\,.$
[/mm]
Und weil die Vektoren [mm] $(-2,1,0)^T,\;(-17,0,1)^T$ [/mm] offenbar linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis von [mm] $M\,.$
[/mm]
Abgesehen von obiger Lösungsmethode könnte man sich auch erstmal an die Aufgabenstellung halten:
Sei [mm] $M:=\{(x_1,x_2,x_3)^T \in \IR^3:\;x_1+2x_2+17x_3=0\}\,,$ [/mm] und zunächst ist zu zeigen, dass [mm] $M\,$ [/mm] ein Unterraum des Vektorraums [mm] $\IR^3$ [/mm] (über [mm] $\IR$) [/mm] ist. Dazu sind die UR-Axiome zu prüfen:
1.) Gilt [mm] $(0,0,0)^T \in M\,$? [/mm] Ja, denn das ergibt sich, da die Gleichung $0+2*0+17*0=0$ gilt. (Insbesondere ist also $M [mm] \not=\emptyset\,.$)
[/mm]
2.) Wenn [mm] $(x_1,x_2,x_3)^T, (y_1,y_2,y_3)^T \in [/mm] M$ sind, d.h., wenn [mm] $x_1+2x_2+17x_3=0$ [/mm] und [mm] $y_1+2y_2+17y_3=0$ [/mm] gelten, dann ist zu zeigen, dass für [mm] $(x_1,x_2,x_3)^T+(y_1,y_2,y_3)^T=(s_1,s_2,s_3)^T$ [/mm] auch [mm] $(s_1,s_2,s_3)^T \in [/mm] M$ gilt (d.h., dass dann auch [mm] $s_1+2s_2+17s_3=0$ [/mm] gilt).
Oben gilt nach üblicher Konvention im [mm] $\IR^3$ [/mm] dabei [mm] $s_i=x_i+y_i$ [/mm] ($i=1,2,3$).
3.) Wenn [mm] $(x_1,x_2,x_3)^T \in M\,,$ [/mm] d.h. wenn [mm] $x_1+2x_2+17x_3=0\,,$ [/mm] und wenn dann [mm] $\lambda \in \IR\,,$ [/mm] dann ist für [mm] $(p_1,p_2,p_3)^T:=\lambda*(x_1,x_2,x_3)^T$ [/mm] zu zeigen, dass dann auch [mm] $(p_1,p_2,p_3)^T \in [/mm] M$ gilt, also die Gleichung [mm] $p_1+2p_2+17p_3=0$ [/mm] gilt.
Hier wäre nach üblicher Vereinbarung [mm] $p_i=\lambda*x_i$ [/mm] ($i=1,2,3$).
Damit wäre dann gezeigt, dass $M$ ein Unterraum des [mm] $\IR^3$ [/mm] ist. Um nun eine Basis von [mm] $M\,$ [/mm] zu bestimmen, könnte man sich schonmal überlegen, dass es einen Vektor [mm] $(r_1,r_2,r_3)^T \in \IR^3 \setminus [/mm] M$ gibt. Daraus folgte dann schonmal [mm] $\text{dim} [/mm] M < [mm] \text{dim}\IR^3=3\,.$ [/mm] Und jetzt sucht man einfach zwei linear unabhängige Vektoren des [mm] $\IR^3\,,$ [/mm] die in $M$ liegen und weiß somit dann auch schon, dass diese eine Basis von [mm] $M\,$ [/mm] bilden...
Gruß,
Marcel
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