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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:55 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Ernesto |
Einen erfrischenden guten Tag wünsche ich.
Nun zum ernst der Lage . Ich quäle mich nun schon seit über zwei stunden durch einen Beweisund Zwar soll ich zeigen:
Sei V ein VR / [mm] \IC [/mm] und ein Skalarprodukt ( , ) gegeben. Beweise, das gilt:
(u,v) = 1/4 [mm] \parallel [/mm] u + v [mm] \parallel [/mm] ^2 - 1/4 [mm] \parallel [/mm] u - v [mm] \parallel [/mm] ^2 + i/4 [mm] \parallel [/mm] u + iv [mm] \parallel [/mm] ^2 - i/4 [mm] \parallel [/mm] u - iv [mm] \parallel [/mm] ^2
Ich habe versucht erstmal alle Normen umzuformen und dann mit den gängingen regeln der multiplikation von komplexen zahlen diesen Beweis zu bringen , aber ich scheitere imme kläglich. HAt jemand diesen Beweis???
Ich bedanke mich schon im vorraus
Butzi THomas
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:53 Mi 20.04.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo!
Es gilt doch einfach:
[mm] $\frac{1}{4} \Vert u+v\Vert^2 [/mm] - [mm] \frac{1}{4} \Vert [/mm] u-v [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] u+iv [mm] \Vert^2 [/mm] - [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] u -iv [mm] \Vert^2$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{4} \langle [/mm] u+v,u+v [mm] \rangle [/mm] - [mm] \frac{1}{4} \langle [/mm] u-v,u-v [mm] \rangle [/mm] + [mm] \frac{i}{4} \langle [/mm] u+iv,u+iv [mm] \rangle [/mm] - [mm] \frac{i}{4} \langle [/mm] u-iv,u-iv [mm] \rangle$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{4} \Vert [/mm] u [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} Re(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle) [/mm] + [mm] \frac{1}{4} \Vert [/mm] v [mm] \Vert^2-\frac{1}{4} \Vert [/mm] u [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2} Re(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle) [/mm] - [mm] \frac{1}{4} \Vert [/mm] v [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] u [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2}i\, Im(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle) [/mm] + [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] v [mm] \Vert^2 [/mm] - [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] u [mm] \Vert^2 [/mm] + [mm] \frac{1}{2}i\, Im(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle) [/mm] - [mm] \frac{i}{4} \Vert [/mm] v [mm] \Vert^2$
[/mm]
$= [mm] Re(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle) [/mm] + i [mm] \, Im(\langle [/mm] u,v [mm] \rangle)$
[/mm]
[mm] $=\langle [/mm] u,v [mm] \rangle$.
[/mm]
Viele Grüße
Julius
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