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| Aufgabe | | Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über [mm] \IC. [/mm] Sei W [mm] \subseteq [/mm] V ein n-dimensionaler [mm] \IR [/mm] -Untervektorraum. Zeigen sie, [mm] span_{\IC}(W)=V [/mm] genau dann, wenn W [mm] \cap [/mm] iW={0}, wobei [mm] i^{2}=-1. [/mm] |
Leider habe ich noch kaum Ansätze und wäre über einen Denkanstoß sehr dankbar.
Vielen Dank schonmal im Voraus.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=582923
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> Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über [mm]\IC.[/mm] Sei W
> [mm]\subseteq[/mm] V ein n-dimensionaler [mm]\IR[/mm] -Untervektorraum.
> Zeigen sie, [mm]span_{\IC}(W)=V[/mm] genau dann, wenn W [mm]\cap[/mm] iW={0},
> wobei [mm]i^{2}=-1.[/mm]
> Leider habe ich noch kaum Ansätze und wäre über einen
> Denkanstoß sehr dankbar.
Hallo,
zu zeigen sind zwei Richtungen:
i) [mm] span_{\IC}(W)=V [/mm] ==> [mm] W\cap iW=\{0\}
[/mm]
ii) [mm] W\cap iW=\{0\} [/mm] ==> [mm] span_{\IC}(W)=V [/mm]
zu i)
Sei [mm] B=\{w_1,...,w_n\} [/mm] eine Basis von W über [mm] \IR,
[/mm]
und sei [mm] span_{\IC}(W)=V.
[/mm]
Dann ist B auch eine Basis von V über [mm] \IC.
[/mm]
Sei nun [mm] w\in W\cap [/mm] iW.
Dann ist [mm] w=\sum_{k=1}^nr_kw_k [/mm] mit [mm] r_k\in \IR.
[/mm]
Weil w auch in iW ist, kann man w schreiben als [mm] w=i*\sum_{k=1}^ns_kw_k [/mm] mit [mm] s_k\in \IR.
[/mm]
Ich denke, nun kommst Du weiter.
zu ii)
Sei [mm] W\cap iW=\{0\}, [/mm] und sei [mm] B=\{w_1,...,w_n\} [/mm] eine Basis von W über [mm] \IR.
[/mm]
Zeige nun, daß B auch linear unabhängig über [mm] \IC [/mm] ist:
seien [mm] a_k,b_k \in \IR [/mm]
und [mm] 0=\summe_{k=1}^n(a_k+ib_k)w_k
[/mm]
<==>
[mm] \underbrace{\summe_{k=1}^na_kw_k}_{\in W}=\underbrace{\sum_{k=1}^n(-ib_k)w_k}_{\in iW}
[/mm]
Nun mach weiter!
LG Angela
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