Vektorraum lineare Abhängigkei < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Hi,
Meine Aufgabe lautet
Man beiweise folgende Aussage:
"Wenn ein Vektorraum V von 3 Elementen [mm] v_1 v_2 v_3 [/mm] erzeugt wird, dann ist jede Menge von 4 Elementen [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] linear abhängig"
Danke für eure Hilfe |
Meine Ideen:
Prinzipiel nehme ich an, dass diese Aussge wahr ist
Man kann jeden Vektor aus V als linear Kombination darstellen. (ob linear Un/Abhängig ist dabei doch egal?)
Desshalb hätte ich eine Fallunterscheidung gemacht:
1 Fall) [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] sind linear Unabhängig:
In diesem Fall bilden [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] eine Basis und diese ist als minimales Erzeugendensystem und maximal linear Unabhängig definiert.
d.h. Sollte ich nun einen 4 Vektor hinzufügen so ist [mm] v_1, v_2, v_3, v_4 [/mm] linear abhängig.
Aber nachdem in der Aufgabe "erzeugt" steht nehme ich an, handelt es sich bei [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] wahrscheinlich um keine Basis.
Deshalb
2 Fall [mm] v_1, v_2, v_3 [/mm] linear abhängig:
Also würde gelten:
[mm] \lambda_1 v_1 +\lambda_2 v_2+ \lambda_3 v_3 \not= [/mm] 0 somit würde auch für einen 4ten Vektor gelten:
[mm] \lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3 [/mm] + [mm] \lambda_4 v_4\not= [/mm] 0
also auch hier linear abhängig.
hmm könnt ihr mir wiedermal helfen?
danke euch
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:47 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Hi,
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> Meine Aufgabe lautet
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> Man beiweise folgende Aussage:
>
> "Wenn ein Vektorraum V von 3 Elementen [mm]v_1 v_2 v_3[/mm] erzeugt
> wird, dann ist jede Menge von 4 Elementen [mm]w_1, w_2, w_3, w_4[/mm]
> linear abhängig"
>
> Danke für eure Hilfe
> Meine Ideen:
>
> Prinzipiel nehme ich an, dass diese Aussge wahr ist
Das ist sie.
> Man kann jeden Vektor aus V als linear Kombination
> darstellen. (ob linear Un/Abhängig ist dabei doch egal?)
>
> Desshalb hätte ich eine Fallunterscheidung gemacht:
>
> 1 Fall) [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] sind linear Unabhängig:
>
> In diesem Fall bilden [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] eine Basis und diese
> ist als minimales Erzeugendensystem und maximal linear
> Unabhängig definiert.
> d.h. Sollte ich nun einen 4 Vektor hinzufügen so ist [mm]v_1, v_2, v_3, v_4[/mm]
> linear abhängig.
>
> Aber nachdem in der Aufgabe "erzeugt" steht nehme ich an,
> handelt es sich bei [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] wahrscheinlich um keine
> Basis.
>
> Deshalb
> 2 Fall [mm]v_1, v_2, v_3[/mm] linear abhängig:
>
> Also würde gelten:
>
> [mm]\lambda_1 v_1 +\lambda_2 v_2+ \lambda_3 v_3 \not=[/mm] 0 somit
> würde auch für einen 4ten Vektor gelten:
>
> [mm]\lambda_1 v_1+ \lambda_2 v_2 +\lambda_3 v_3[/mm] + [mm]\lambda_4 v_4\not=[/mm]
> 0
>
> also auch hier linear abhängig.
ich kommentiere obiges nicht, denn ich sehe, dass Du mit den Begriffen "linear abhängig" , "linear unabhängig" nich nicht so richtig vertraut bist. Ändere das !
Was Du zeigen sollst, hast Du auch nicht richtig verstanden.
Gegeben: [mm] v_1,v_2,v_3 \in [/mm] V mit der Eigenschaft: die lineare Hülle dieser 3 Vektoren = V
Sind nun $ [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] $ irgendwelche Elemente in V, so sollst Du zeigen, dass sie linear abhängig sind.
Nun ergänze die "?" -Zeichen:
Die Voraussetzung an [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] liefert: dim V [mm] \le [/mm] $?_1$
Die Annahme $ [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] $ seien linear unabhängig, liefert dim V [mm] \ge [/mm] $?_2$
Welchen Widerspruch bekommst Du ?
FRED
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> hmm könnt ihr mir wiedermal helfen?
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> danke euch
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Nun ergänze die "?" -Zeichen:
Die Voraussetzung an $ [mm] v_1,v_2,v_3 [/mm] $ liefert: dim V $ [mm] \le [/mm] $ $ 3 $
Die Annahme $ [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] $ seien linear unabhängig, liefert dim V $ [mm] \ge [/mm] $ $ 4 $
Welchen Widerspruch bekommst Du ?
Ich bekommen den widerspruch das falls $ [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] $ seien linear unabhängig die Dimension größer ist als meiner Vorasusetzung, somit müssen $ [mm] w_1, w_2, w_3, w_4 [/mm] $ linear abhängig sein.
FRED
Danke dir :)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 15.02.2012 | | Autor: | fred97 |
> Nun ergänze die "?" -Zeichen:
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> Die Voraussetzung an [mm]v_1,v_2,v_3[/mm] liefert: dim V [mm]\le[/mm] [mm]3[/mm]
Bingo !
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> Die Annahme [mm]w_1, w_2, w_3, w_4[/mm] seien linear unabhängig,
> liefert dim V [mm]\ge[/mm] [mm]4[/mm]
Nochmal Bingo !
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> Welchen Widerspruch bekommst Du ?
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> Ich bekommen den widerspruch das falls [mm]w_1, w_2, w_3, w_4[/mm]
> seien linear unabhängig die Dimension größer ist als
> meiner Vorasusetzung, somit müssen [mm]w_1, w_2, w_3, w_4[/mm]
> linear abhängig sein.
Und nochmal Bingo !
FRED
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> FRED
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> Danke dir :)
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