Vektorraum linear unabhängig < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:45 Fr 30.11.2007 | | Autor: | Rutzel |
| Aufgabe | | Es sei V der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem Intervall(0,1). Zeige, dass [mm] x^3, [/mm] sin(x), cos(x) in V linear unbhängig sind. |
Hallo,
wenn l.u. hat
[mm] a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0
[/mm]
nur die triviale lösung
a=b=c=0.
Nun macht aber das offene Intervall Probleme ein geeignetes x so einzusetzen, dass ein Teil des Polynoms wegfällt.
Also habe ich [mm] \pi/4 [/mm] eingesetzt:
[mm] a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0
[/mm]
=>
b=-c
und a = 0
jetzt ist das ganze aber linear abhängig.
Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
Gruß
Rutzel
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> Es sei V der Vektorraum der stetigen Funktionen auf dem
> Intervall(0,1). Zeige, dass [mm]x^3,[/mm] sin(x), cos(x) in V linear
> unbhängig sind.
> Hallo,
> wenn l.u. hat
> [mm]a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0[/mm]
> nur die triviale lösung
> a=b=c=0.
> Nun macht aber das offene Intervall Probleme ein
> geeignetes x so einzusetzen, dass ein Teil des Polynoms
> wegfällt.
> Also habe ich [mm]\pi/4[/mm] eingesetzt:
> [mm]a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0[/mm]
> =>
> b=-c
> und a = 0
Hallo,
Du mußt bedenken, daß die drei Funktionen [mm] f,g,h:(0,1)\to \IR
[/mm]
mit [mm] f(x):=x^3 [/mm] , g(x):=sin(x), h(x):=cos(x) für alle x
genau dann linear unabhängig sind, wenn aus
af+bg+ch=n folgt, daß a=b=c=0 gilt (n ist hier die Nullfunktion, also n(x)=0 für alle x)
Nun mußt Du zunächst einmal überlegen, was die Gleichheit af+bg+ch=n bedeutet.
Das ist eine Gleichheit v. Funktionen.
Funktionen sind gleich, wenn sie an allen Stellen übereinstimmen.
af+bg+ch=n bedeutet also, daß
für alle [mm] x\in [/mm] (0,1) gilt af(x)+bg(x)+ch(x)=n(x)
<==> für alle [mm] x\in [/mm] (0,1) gilt [mm] ax^3+bsin(x)+ccos(x)=0.
[/mm]
Es reicht also nicht, daß das an der Stelle [mm] x=\pi/4 [/mm] gilt, es muß auch gelten für x=0.5, x=0.25 und viele mehr.
Das bedeutet: wenn Du drei Stellen findest, so daß das entsprechende Lineare GS aus drei Gleichungen nur die Lösung a=b=c=0 zuläßt, so weißt Du, daß die Funktionen linear unabhängig sind.
Deine Rechnung ist nur der Anfang.
Übrigens folgt aus
[mm] a*(\pi/4)^3+b*sin(\pi/4)+c*cos(\pi/4)=0[/mm]
[/mm]
nicht, daß b=-c und a = 0, sondern das wäre eine mögliche Lösung.
Gruß v. Angela
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> jetzt ist das ganze aber linear abhängig.
>
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>
> Gruß
> Rutzel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:24 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Rutzel |
aha, ist also folgendes vorgehen ok?
Sei [mm] x_1 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] sin(x_1)=cos(x_1)
[/mm]
[mm] a*x_1^3+b*sin(x_1)+c*cos(x_1)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] a=0 und b+c=0
Sei [mm] x_2 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] x_2^3=sin(x_2)
[/mm]
[mm] a*x_2^3+b*sin(x_2)+c*cos(x_2)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] c=0 und a+b=0
Sei [mm] x_3 \in [/mm] (0,1) , so dass [mm] x_3^3=cos(x_3)
[/mm]
[mm] a*x_3^3+b*sin(x_3)+c*cos(x_3)=0
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] b=0 und a+c=0
Insegsamt also: a=b=c=0
[mm] \Rightarrow [/mm] lineare Unabh. der drei Vektoren
Allerdings ist es mir noch unklar, warum es ok ist, wenn ich drei beliebige x-Werte nehme, um die l.u. zu zeigen. Für ein und den gleichen x-Wert hätte ich es noch verstanden. (eben weil [mm] a*x^3+b*sin(x)+c*cos(x)=0 \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1) aber doch wenn das x in [mm] x^3, [/mm] sin(x) und cos(x) gleich ist...)
Gruß
Rutzel
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> aha, ist also folgendes vorgehen ok?
>
> Sei [mm]x_1 \in[/mm] (0,1) , so dass
Nein, dieses "sei [mm] x_i, [/mm] so daß " ist so nicht richtig.
Du mußt da mit konkreten Zahlen rechnen, oder zuerst irgendwie glaubhaft machen, daß es so ein [mm] x_i \in [/mm] (0,1) gibt.
[mm]sin(x_1)=cos(x_1)[/mm]
> [mm]a*x_1^3+b*sin(x_1)+c*cos(x_1)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] a=0 und b+c=0
>
> Sei [mm]x_2 \in[/mm] (0,1) , so dass [mm]x_2^3=sin(x_2)[/mm]
> [mm]a*x_2^3+b*sin(x_2)+c*cos(x_2)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] c=0 und a+b=0
>
> Sei [mm]x_3 \in[/mm] (0,1) , so dass [mm]x_3^3=cos(x_3)[/mm]
> [mm]a*x_3^3+b*sin(x_3)+c*cos(x_3)=0[/mm]
> [mm]\Rightarrow[/mm] b=0 und a+c=0
>
> Insegsamt also: a=b=c=0
> [mm]\Rightarrow[/mm] lineare Unabh. der drei Vektoren
>
>
> Allerdings ist es mir noch unklar, warum es ok ist, wenn
> ich drei beliebige x-Werte nehme, um die l.u. zu zeigen.
Wenn Du drei Werte findest, so daß das lineare Gleichungssystem nur die triviale Lösung hat, kann sich durch tausend andere x-Werte an der Aussage, daß nur die tiviale Linearkombination Null ergibt, nichts mehr ändern.
Wenn Du drei Werte findest, für die die nichttriv. Linearkombi Null ergibt, sagt das überhaupt nichts.
Du mußt gründlich unterscheiden zwischen der Funktion und ihren Funktionswerten.
Zwei Funktionen sind gleich, wenn ihre Funktionswerte an allen(!) Stellen gleich sind.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:25 Sa 01.12.2007 | | Autor: | Rutzel |
Gut, dann muss man halt das "Sei" in ein "es existiert" ändern und noch konkrete Werte angeben, was ja nocht weiter schwer ist (nämlich gerade die Schnittpunkte der Funktionen)
Ich denke ich habe es verstanden (außer ich habe jetzt wieder Blödsinn erzählt ...)
Danke für deine Hilfe.
Gruß,
Rutzel
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